Tle Mathématiques Primitives et équations différentiellesFiche de révision : Primitives et équations différentielles
Primitives et équations différentielles
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪
Notion de primitive
Notion de primitive
- Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
- On appelle primitive d’une fonction $f$ sur $I$ une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.
- Pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime} (x)=f(x)$.
- Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les fonctions de la forme $F+k$, où $k$ est une fonction constante, sont aussi des primitives de $f$.
Calculs de primitives
Calculs de primitives
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ respectivement. Soit un réel $k$.
- La fonction $F+G$ est une primitive de $f+g$.
- La fonction $kF$ est une primitive de $kf$.
- Primitives de fonctions usuelles
| Fonction $f$ | Une primitive $F$ | Ensemble de définition |
| $x \mapsto a$ | $x \mapsto ax$ | $\mathbb R$ |
| $x \mapsto x^n$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}$ |
$x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ | $\mathbb R$ si $n \geq 0$
$\mathbb R^*$ si $n<0$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ | $x \mapsto \ln x$ | $\mathbb R^{*+}$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$ | $x \mapsto 2\sqrt x$ | $\mathbb R^{*+}$ |
| $x \mapsto$ e$^x$ | $x \mapsto$ e$^x$ | $\mathbb R$ |
- Primitives de fonctions composées
- Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $I$.
| Fonction $f$ | Une primitive $F$ |
| $u^{\prime} u$ | $\dfrac{1}{2}u^2$ |
| $u^{\prime} \text{e}^u$ | ${\text{e}}^u$ |
| $\dfrac{u^{\prime} }{u}$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $u>0$ sur $I$]}}}$ |
$\ln {(u)}$ |
Équations différentielles du premier ordre
Équations différentielles du premier ordre
- Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay$, avec $a \in \mathbb R$.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$
- Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay + b$, avec $a\neq 0$ et $b$ deux réels.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$
- À l’aide d’une condition initiale sur la fonction $y$, nous pouvons déterminer la valeur de $k$ et la fonction $y$ solution sera unique.