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Primitives et équations différentielles

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Introduction :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II. Nous pouvons être amenés à résoudre une équation de la forme : y=fy^\prime = f, où l’inconnue est la fonction yy.
C’est-à-dire de déterminer une fonction dérivable sur II dont la dérivée est connue. Ces équations sont appelées « équations différentielles ».

Pour cela, dans un premier temps, nous allons introduire la notion de primitives d’une fonction sur un intervalle, puis nous verrons des méthodes permettant de les calculer. Comme nous le verrons dans le cours suivant sur le calcul intégral, une primitive sert aussi à calculer des intégrales qui, concrètement, représentent des aires.
Dans un second temps, nous allons résoudre des équations différentielles du premier ordre, c’est-à-dire des équations de la forme y=ayy^\prime = ay ou y=ay+by^\prime = ay + b (avec aa et bb deux réels non nuls).

Notion de primitive

En première, nous avons découvert la notion de dérivée d’une fonction, que nous avons complétée en terminale.
Ici, pour résoudre une équation différentielle du type y=fy^{\prime}=f, il nous faut en quelque sorte faire le chemin inverse, c’est-à-dire trouver une fonction dont la dérivée est ff, que nous connaissons.

  • Cette fonction inconnue est appelée primitive.

Définitions et vocabulaire

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Définition

Primitive :

Soit ff une fonction continue sur l’intervalle II.
On appelle primitive d’une fonction ff sur II une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est égale à ff.

  • Pour tout xx de II, F(x)=f(x)F^{\prime} (x)=f(x).

Prenons un premier exemple simple, avec la fonction carrée.

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Exemple

La fonction xx2x \mapsto x^2 est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x2xx \mapsto 2x.

  • On dit alors que la fonction xx2x \mapsto x ^2 est une primitive de la fonction x2xx \mapsto 2x.

Donnons maintenant les premières propriétés.

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Propriété

  • Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est une primitive de ff sur II, les fonctions de la forme F+kF+k, où kk est une fonction constante, sont aussi des primitives de ff.

Une seule de ces primitives prend une valeur y0y0 donnée en un x0x0 de II donné.

  • La condition initiale y0=F(x0)y0 = F(x0) permet donc de définir de façon unique une primitive de la fonction ff parmi l’ensemble des primitives de ff.
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Démonstration

Démontrons que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Pour une fonction ff définie et continue sur un intervalle II, soit FF et GG deux primitives de la fonction ff sur II.

  • Nous avons :

Pour tout xIx\in I, F(x)=f(x)F^\prime(x) = f(x) et G(x)=f(x)G^\prime(x) = f(x).

  • F(x)=G(x)F^\prime(x) = G^\prime(x)
  • Développons l’égalité.

Pour tout xIx\in I :

G(x)F(x)=0(GF)(x)=0(GF)(x)=0\begin{aligned} G^\prime(x) - F^\prime(x) &= 0\ (G^\prime - F^\prime)(x) &= 0\ (G - F)^\prime(x) &= 0\ \end{aligned}

  • Une primitive de la fonction nulle étant une fonction constante, on en déduit, avec kk réel :

(GF)(x)=kG(x)=F(x)+k(G - F)(x) = k \Leftrightarrow G(x) = F(x) + k

  • Finalement, deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
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Exemple

On a vu précédemment que la fonction F:xF(x)=x2F:x\mapsto F(x)=x^2 est une primitive de la fonction f:xf(x)=2xf:x\mapsto f(x)=2x.

Alors, toutes les fonctions de la forme xx2+kx \mapsto x^2+k, où kk est une constante réelle, sont des primitives de la fonction ff.

  • La fonction G(x)=x2+2G(x)=x^2+2 est la primitive de f(x)=2xf(x)=2x telle que F(0)=2F(0)=2.

Intéressons-nous à la fonction que nous avons découverte cette année : le logarithme népérien.

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À retenir

Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x1xx\mapsto \dfrac{1}{x} qui s’annule en x=1x = 1.

Vérifier qu’une fonction FF est une primitive d’une fonction ff

Avant de calculer des primitives, nous allons d’abord apprendre à vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction sur un intervalle donné.

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Exemple

La fonction définie par F(x)=ln(x+1)+1x+1F(x)=\ln {(x+1)} +\frac{1}{x+1} est-elle une primitive de la fonction définie sur R+\mathbb{R}^+ par f(x)=x(x+1)2f(x)=\frac{x}{(x+1)^2} ?

  • On part de la supposée primitive FF et on calcule sa dérivée.
  • La fonction FF est définie sur R+\mathbb{R}^+.

On reconnaît la forme ln(u)\ln {(u)}, dont la dérivée est uu\frac {u^{\prime}}u, et la forme 1u\frac 1u, dont la dérivée est uu2-\frac{u^\prime}{u^2}, avec uu définie par u(x)=x+1u(x) = x+1, qui est bien une fonction dérivable sur R+\mathbb{R}^+.

  • La fonction FF est dérivable sur R+\mathbb{R}^+, comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Et, pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+, on a :

F(x)=1x+1+(1(x+1)2)=1x+11(x+1)2\begin{aligned} F^{\prime} (x) &=\dfrac{1}{x+1}+\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)\ &=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}

  • On met les expressions au même dénominateur, à savoir (x+1)2(x+1)^2 et, pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+ :

F(x)=1x+1×x+1x+11(x+1)2=x+1(x+1)21(x+1)2=x(x+1)2=f(x)\begin{aligned} F^{\prime} (x)&=\dfrac{1}{x+1}\times \dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2} \ &=\dfrac{x+1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{(x+1)^2}\ &=\dfrac{x}{(x+1)^2}\ &=f(x) \end{aligned}

  • On vient de démontrer que, en dérivant la fonction FF, on obtenait la fonction ff.
  • La fonction FF est bien une primitive de ff sur R+\mathbb{R}^+.

Calculs de primitives

Dans cette partie, nous allons voir qu’il existe un formulaire pour déterminer des primitives d’une fonction.

  • Nous utiliserons un tableau de primitives, qui est à connaître.

Primitives de fonctions usuelles

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À retenir

Fonction ff Une primitive FF Ensemble de définition
xax \mapsto a xaxx \mapsto ax R\mathbb R
xxnx \mapsto x^n

[avec n1 entier relatif]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}</span

x1n+1xn+1x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} R\mathbb R si n0n \geq 0

R*\mathbb R^* si n<0n<0</span

x1xx \mapsto \dfrac{1}{x} xlnxx \mapsto \ln x R*+\mathbb R^{*+}
x1xx \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x} x2xx \mapsto 2\sqrt x R*+\mathbb R^{*+}
xx \mapsto ex^x xx \mapsto ex^x R\mathbb R

Donnons aussi les propriétés de linéarité des primitives.

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Propriété

Soit ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II.
Soit maintenant FF et GG deux primitives de ff et gg respectivement.
Soit enfin un réel kk.
Nous avons alors :

  • la fonction F+GF+G est une primitive de f+gf+g ;
  • la fonction kFkF est une primitive de kfkf.

Nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.

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Exemple

  • Soit la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=4x+5f(x)=-4x+5

  • D’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xxx\mapsto x est :

x12x2x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2

  • De même, une primitive de la fonction x4xx\mapsto -4x est :

x4×12x2=2x2x\mapsto -4\times \dfrac{1}{2}x^2=-2x^2

  • Enfin, une primitive de la fonction x5x\mapsto 5 est :

x5xx\mapsto 5x

  • La fonction ff admet pour primitive sur R\mathbb R (parmi une infinité d’autres) la fonction FF définie et dérivable sur R\mathbb{R}, qui associe à tout réel xx :

F(x)=2x2+5xF(x)=-2x^2+5x

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Exemple

  • Soit la fonction gg définie sur R\mathbb R par :

g(x)=x3+2x+4g(x)=x^3+2x+4

  • Toujours d’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xx3x\mapsto x^3 est :

x14x4x\mapsto \dfrac{1}{4}x^4

  • De même, une primitive de la fonction x2xx\mapsto 2x est :

x2×12x2=x2x\mapsto 2\times \dfrac{1}{2}x^2=x^2

  • Enfin, une primitive de la fonction x4x\mapsto 4 est :

x4xx\mapsto 4x

  • La fonction gg admet pour primitive sur R\mathbb R (parmi une infinité d’autres) la fonction GG définie et dérivable sur R\mathbb{R}, qui associe à tout réel xx :

G(x)=14x4+x2+4xG(x)= \dfrac{1}{4} x^4+x^2+4x

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Exemple

  • Soit la fonction hh définie sur R+{\mathbb{R}}^{*+} par :

h(x)=1x3h(x)=\dfrac{1}{x^3}

  • La première étape consiste à transformer l’écriture de h(x)h(x) pour se ramener à une forme du tableau :

h(x)=1x3=x3\begin{aligned} h(x)&=\dfrac{1}{x^3} \ &=x^{-3} \end{aligned}

  • Ainsi, d’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xx3x \mapsto x^{-3} est :

x12x2x \mapsto -\dfrac{1}{2}x^{-2}

  • La fonction hh admet pour primitive sur R+\mathbb R^{* +} (parmi une infinité d’autres) la fonction HH définie et dérivable sur R+\mathbb R^{* +}, qui associe à tout réel strictement positif xx :

H(x)=12x2=12x2\begin{aligned} H(x)&=-\dfrac{1}{2}x^{-2} \ &=-\dfrac{1}{2x^2} \end{aligned}

Primitives plus complexes

Étudions maintenant le calcul de primitives de fonctions composées.

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À retenir

Soit uu une fonction définie et dérivable sur l’intervalle II.

Fonction ff Une primitive FF
uuu^{\prime} u 12u2\dfrac{1}{2}u^2
ueuu^{\prime} \text{e}^u eu{\text{e}}^u
uu\dfrac{u^{\prime} }{u}

 [avec u<mo

0 sur I]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $u>0$ sur II]}}}>>

ln(u)\ln {(u)}

Là aussi, donnons quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.

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Exemple

  • Soit la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=3(2x1)(x2x+4)f(x)=3(2x-1)(x^2-x+4)

  • On considère la fonction u:xx2x+4u:x\mapsto x^2-x+4, et on constate que la fonction v:x2x1v:x \mapsto 2x-1 est la dérivée de uu.
  • La fonction peut donc se définir par :

f(x)=3×u(x)×u(x)f(x)=3\times u^{\prime}(x) \times u(x)

  • D’après la première formule du tableau :

F(x)=3×12×u2(x)=32×(x2x+4)2\begin{aligned} F(x) &=3\times \dfrac{1}{2}\times u^2(x) \ &= \dfrac{3}{2}\times (x^2-x+4)^2 \end{aligned}

  • La fonction ff admet pour primitive sur R\mathbb R (parmi une infinité d’autres) la fonction FF définie et dérivable sur R\mathbb{R}, qui associe à tout réel xx :

F(x)=32×(x2x+4)2F(x)=\dfrac{3}{2}\times (x^2-x+4)^2

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Exemple

  • Soit la fonction gg définie sur R\mathbb R par :

g(x)=2xx2+1g(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}

  • On considère la fonction u:xx2+1u:x\mapsto x^2+1, strictement positive sur R\mathbb R, et on constate que la fonction v:x2xv:x\mapsto 2x est la dérivée de la fonction uu.
  • La fonction peut donc se définir par :

g(x)=u(x)u(x)g(x)=\dfrac{u^\prime(x)}{u(x)}

  • D’après la dernière formule du tableau, et comme uu est strictement positive sur R\mathbb R :

G(x)=ln(u(x))=ln(x2+1)\begin{aligned} G(x) &= \ln\big(u(x)\big) \ &= \ln{(x^2 + 1)} \end{aligned}

  • La fonction gg admet pour primitive sur R\mathbb R (parmi une infinité d’autres) la fonction GG définie et dérivable sur R\mathbb{R}, qui associe à tout réel xx :

G(x)=ln(x2+1)G(x)= \ln{(x^2 + 1)}

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Exemple

  • Soit la fonction hh définie sur R\mathbb R par :

h(x)=exex+2h(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}

  • On considère la fonction u:xex+2u:x \mapsto \text{e}^x+2, strictement positive sur R\mathbb R, et on constate que la fonction v:xexv:x \mapsto {\text{e}}^x est la dérivée de la fonction uu.
  • La fonction peut donc se définir par :

h(x)=u(x)u(x)h(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}

  • Toujours d’après la dernière formule du tableau, et comme uu est strictement positive sur R\mathbb R :

H(x)=ln(u(x))=ln(ex+2)\begin{aligned} H(x)&= \ln\big(u(x)\big) \ &= \ln{(\text{e}^x + 2)} \end{aligned}

  • La fonction hh admet pour primitive sur R\mathbb R (parmi une infinité d’autres) la fonction HH définie et dérivable sur R\mathbb{R}, qui associe à tout réel xx :

H(x)=ln(ex+2)H(x)= \ln{(\text{e}^x + 2)}

Équations différentielles du premier ordre

Maintenant que nous avons défini la notion de primitives, résolvons des équations différentielles dites du premier ordre.

Équations différentielles du premier ordre sans second membre

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Définition

Équation différentielle du premier ordre sans second membre :

Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ayy^\prime = ay, avec aRa \in \mathbb R.

  • Elle peut aussi s’écrire sous la forme yay=0y^\prime - ay = 0, d’où l’expression « sans second membre ».
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Théorème

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

y(x)=keax [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec kRk \in \mathbb R]}}}

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Démonstration

Démontrons que les solutions de l’équation y=ayy^\prime = ay, avec aRa \in \mathbb R, sont des fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=keaxy(x) = k {\text{e}}^{ax}, avec kRk \in \mathbb R.

Soit aa un nombre réel.

  • Résolvons l’équation différentielle y=ayy^\prime = ay.
  • Supposons qu’il existe une fonction ff solution de cette équation différentielle, telle que ff ne s’annule pas sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout xx réel :

f(x)=af(x)f(x)f(x)=a\begin{aligned} f^\prime(x) &= af(x)\ \dfrac{f^\prime(x)}{f(x)} &= a \end{aligned}

  • On détermine la primitive de chaque fonction :
  • ff\frac{f^\prime}{f} est de la forme uu\frac{u^\prime}{u}, on reconnaît ici une formule du second tableau et on en déduit qu’une primitive de ff est ln(f)\ln{(\vert f\vert)}.
  • aa est un nombre réel, on reconnaît ici une formule du premier tableau et on déduit qu’une primitive est xaxx\mapsto ax avec bRb \in \mathbb R.
  • On a donc :

f(x)f(x)=aln(f(x))=ax+b[avec bR, deux primitives diffeˊrant d’une constante]f(x)=eax+bf(x)=ebeaxf(x)=keax [avec k=eb>0]f(x)=keax [car keax>0, pour tout x reˊel]\begin{aligned} \dfrac{f^\prime(x)}{f(x)} = a &\Leftrightarrow \ln{(\vert f(x) \vert)} = ax + b \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $b\in \mathbb R$, deux primitives différant d’une constante]}}} \ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = {\text{e}}^{ax+b}\ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = {\text{e}}^b {\text{e}}^{ax}\ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = k{\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec }k=\text{e}^b >0]}} \ &\Leftrightarrow f(x) = k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $k \text{e}^{ax}>0$, pour tout xx réel]}}} \end{aligned}

  • Montrons maintenant que les fonctions ff définies sur R\mathbb{R} par f(x)=keaxf(x) = k{\text{e}}^{ax}, avec $k \in \mathbb R$, sont solutions de l’équation différentielle y=ayy^\prime= ay.

Soit xx un nombre réel, on a :

f(x)af(x)=kaeaxkaeax[car (eu)=ueu et, en prenantu(x)=ax , on a u(x)=a]=0\begin{aligned} f^\prime(x) - af(x) &= ka{\text{e}}^{ax} - ka{\text{e}}^{ax}\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car (e}^u)^\prime=u^\prime e^u\ \text{et, en prenant}}}\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u(x)=ax\ \text{, on a}\ u^\prime(x)=a]}}\ &= 0 \end{aligned}

  • L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y=ayy^\prime = ay est l’ensemble des fonctions ff définies par :

f(x)=keax [avec kR]f(x) = k{\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $ k \in \mathbb R $]}}}

Prenons un premier exemple simple.

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Exemple

Les solutions de l’équation différentielle y=3yy^\prime = 3y sont les fonctions définies et dérivables sur R\mathbb{R} par :

y(x)=ke3x [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{3x}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}

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Astuce

À l’aide d’une condition initiale sur la fonction yy, nous pouvons déterminer la valeur kk et la fonction yy sera une solution unique à cette équation.

Nous allons cette fois prendre un exemple où une condition initiale est donnée.

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Exemple

Trouvons la solution de l’équation différentielle y=5yy^\prime = - 5y qui vérifie y(0)=2y(0) = 2.

  • Les solutions de l’équation y=5yy^\prime = - 5y sont les fonctions définies et dérivables sur R\mathbb{R} par :

y(x)=ke5x [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{-5x}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}

  • Déterminons la valeur de kk avec la condition initiale :

y(0)=2ke0=2k=2\begin{aligned} y(0) = 2 &\Leftrightarrow k {\text{e}}^0=2\ &\Leftrightarrow k=2 \end{aligned}

  • L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R} par :

y(x)=2e5xy(x) = 2 {\text{e}}^{-5x}

  • Nous pouvons aussi donner la représentation graphique de la fonction yy.

Alt option mathématiques complémentaires primitives équations différentielles

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Astuce

Si on change la valeur kk dans l’expression de la fonction par son opposé k-k, nous obtenons une courbe symétrique à la première courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Équations différentielles du premier ordre avec second membre constant

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Définition

Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant :

Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ay+by^\prime = ay + b, avec a0a\neq 0 et bb deux réels.

  • Elle peut aussi s’écrire sous la forme yay=by^\prime - ay = b, d’où l’expression « avec second membre constant ».

Soit l’équation différentielle y=ay+by^\prime = ay + b, avec a0a\neq 0 et bb deux réels.
Étudions d’abord la fonction constante g:xbag:x\mapsto -\frac ba. Alors nous avons, pour tout réel $x$ :

\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’une part :\ }}g^{\prime}(x)&=0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’autre part\ :\ }} ag(x)+b&=a\times (-\dfrac ba)+b \ &=-b+b \ &=0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :\ }}g^{\prime}(x)&=ag(x)+b \end{aligned}

  • La fonction gg est une solution particulière de l’équation différentielle.

Et nous avons la propriété suivante.

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Propriété

Les solutions de l’équation différentielle y=ay+by^{\prime}=ay+b (a0a\neq 0 et bb deux réels) sont les fonctions de la forme xf(x)+g(x)x\mapsto f(x)+g(x), avec :

  • ff solution quelconque de l’équation différentielle y=ayy^{\prime}=ay ;
  • gg solution particulière constante de l’équation différentielle y=ay+by^{\prime}=ay+b.

À partir des solutions que nous avons données, dans la partie précédente, pour les équations différentielles du premier ordre sans second membre, nous pouvons déduire la propriété suivante.

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Propriété

Les solutions de l’équation différentielle y=ay+by^{\prime}=ay+b (a0a\neq 0 et bb deux réels) sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

y(x)=keaxba [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}

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Exemple

Les solutions de l’équation différentielle y=3y+4y^\prime = 3y+4 sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=ke3x43y(x) = k {\text{e}}^{3x} - \dfrac{4}{3}, avec kk un nombre réel.

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Astuce

À l’aide d’une condition initiale sur la fonction yy, nous pouvons déterminer la valeur de kk et la fonction yy solution sera unique.

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Exemple

Trouvons la solution de l’équation différentielle y=6y+3y^\prime= - 6y + 3 qui vérifie y(0)=1y(0) = 1.

  • Les solutions de l’équation y=6y+3y^\prime= - 6y + 3 sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

y(x)=ke6x+36=ke6x+12 [avec k un nombre reˊel]\begin{aligned} y(x)&= k {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{3}{6} \ &= k {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{1}{2} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec kk un nombre réel]}}} \end{aligned}

  • Déterminons la valeur de $k$ avec la condition initiale :

y(0)=1ke0+12=1k+12=1k=112k=12\begin{aligned} y(0) = 1 &\Leftrightarrow k {\text{e}}^0 + \dfrac{1}{2}=1\ &\Leftrightarrow k + \dfrac{1}{2} = 1\ &\Leftrightarrow k=1 - \dfrac{1}{2}\ &\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{2} \end{aligned}

  • L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

y(x)=12e6x+12=12(e6x+1)\begin{aligned} y(x) &= \dfrac{1}{2} {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{1}{2} \ &= \dfrac{1}{2} ({\text{e}}^{-6x} + 1) \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons défini la notion de primitives d’une fonction ff continue sur un intervalle $I$.
Dans la pratique, nous déterminerons les primitives d’une fonction à l’aide du tableau de primitives et des opérations sur celles-ci.
Nous avons ensuite appris à résoudre des équations différentielles du premier ordre.

Dans le prochain cours, nous verrons les primitives s’avèrent utiles pour calculer des aires et des intégrales.