Fiche de révision : Primitives : définitions, calculs et tableaux

La primitive sert à calculer des intégrales. Le calcul intégral est en fait un calcul d'aire.

Définition et vocabulaire

Définition : primitive

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $I$.

On appelle primitive d'une fonction $f$ sur $I$, une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.

Ainsi, pour tout $x$ de $I$, $F' (x)=f(x)$.

Propriétés :

• Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
• Si $F$ est l'une des primitives de $f$ sur $I$, les autres primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)+k$ où $k$ est une constante réelle.

Une seule de ces primitives prend une valeur de $y_0$ donnée en un $x_0$ de $I$ donné.

Méthode : Vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive d’une fonction $f$

Vérifions par exemple que $F(x)=\ln(x+1)+\dfrac{1}{(x+1)}$ est une primitive de la fonction $f(x)=\dfrac {x}{(x+1)^2}$ .

On reconnaît dans $F(x)$ la forme $\ln(u)$ dont la dérivée est $\dfrac{u'}{u}$ et la forme $\dfrac {1}{u}$ dont la dérivée est $\dfrac{-u'}{u^2}$.

$\begin{aligned} F'(x)&={{1} \over x+1}+(-{{1} \over (x+1)^2})\\ &={{1} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\end{aligned}$

On met tout sous le même dénominateur :

$\begin{aligned} F'(x)&={{1} \over x+1}\times {{1+x} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\\ &={{1+x} \over (x+1)^2}-{{1} \over (x+1)^2}\\ &={{x+1-1} \over (x+1)^2}\\ &=f(x)\end{aligned}$

La dérivée de $F(x)$ est bien égale à $f(x)$.

Calcul de primitives

Fonctions usuelles

Primitives complexes