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Primitives : définitions, calculs et tableaux

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La primitive sert à calculer des intégrales. Le calcul intégral est en fait un calcul d'aire.

Définition et vocabulaire

Définition : primitive

Soit ff une fonction continue sur l'intervalle II.

On appelle primitive d'une fonction ff sur II, une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est égale à ff.

Ainsi, pour tout xx de II, F(x)=f(x)F' (x)=f(x).

Propriétés :

  • Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est l'une des primitives de ff sur II, les autres primitives de ff sont les fonctions F(x)+kF(x)+kkk est une constante réelle.

Une seule de ces primitives prend une valeur de y0y0 donnée en un x0x0 de II donné.

Méthode : Vérifier qu’une fonction FF est une primitive d’une fonction ff

Vérifions par exemple que F(x)=ln(x+1)+1(x+1)F(x)=\ln(x+1)+\dfrac{1}{(x+1)} est une primitive de la fonction f(x)=x(x+1)2f(x)=\dfrac {x}{(x+1)^2} .

On reconnaît dans F(x)F(x) la forme ln(u)\ln(u) dont la dérivée est uu\dfrac{u'}{u} et la forme 1u\dfrac {1}{u} dont la dérivée est uu2\dfrac{-u'}{u^2}.

F(x)=1x+1+(1(x+1)2)=1x+11(x+1)2\begin{aligned} F'(x)&={{1} \over x+1}+(-{{1} \over (x+1)^2})\ &={{1} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\end{aligned}

On met tout sous le même dénominateur :

F(x)=1x+1×1+xx+11(x+1)2=1+x(x+1)21(x+1)2=x+11(x+1)2=f(x)\begin{aligned} F'(x)&={{1} \over x+1}\times {{1+x} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\ &={{1+x} \over (x+1)^2}-{{1} \over (x+1)^2}\ &={{x+1-1} \over (x+1)^2}\ &=f(x)\end{aligned}

La dérivée de F(x)F(x) est bien égale à f(x)f(x).

Calcul de primitives

Fonctions usuelles