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Produit scalaire

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​Introduction :

Le produit scalaire est nouveau en première mais il est lié au cours sur les vecteurs puisque l’on calcule toujours le produit scalaire de deux vecteurs. Il est également lié au cours sur la trigonométrie, notamment aux formules d’addition et de duplication.

Nous commencerons cette leçon par la définition et les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs du plan. Nous parlerons ensuite des différentes expressions utilisées pour finir par les applications du produit scalaire.

Produit scalaire de deux vecteurs du plan

Définitions

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Définition

Norme d’un vecteur :

Soit u\vec u un vecteur du plan et soient A et BA\text{ et }B deux points tels que u=AB\vec u=\overrightarrow{AB}.

On appelle norme du vecteur u\vec u le réel positif ou nul, noté u|\vec u|, défini par u=AB|\vec u|=AB.

bannière à retenir

À retenir

La norme d’un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.

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Définition

Produit scalaire de deux vecteurs du plan :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de u\vec u par v\vec v, le nombre réel noté u.v\vec u.\vec v (se lit u scalaire v) égal à :

00 si l’un des deux vecteurs u\vec u ou v\vec v est nul

u×v×cos(u,v)|\vec u|\times|\vec v|\times cos \big(\vec u,\vec v\big) si u0\vec u≠\vec 0 et v0\vec v≠\vec 0

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Exemple

Sur cette figure AB=AB=5 et AC=AC=3\big|\overrightarrow{AB}\big|=AB=5\text{ et }\big|\overrightarrow{AC}\big|=AC=3, donc le produit scalaire des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} vaut :

AB.AC=AB×AC×cos (AB,AC)=5×3×cos (π3)=5×3×12AB.AC=152\begin{aligned} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}&=AB×AC×\cos\ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\ &=5×3×\cos\ \Big(\dfrac\pi3\Big) \ &=5×3×\dfrac12 \ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}&=\dfrac{15}2 \end{aligned}

Cas particuliers

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Propriété

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs colinéaires :

  • Si u\vec u et v\vec v sont de même sens, alors u×v=u×v=AB×AC\vec u \times \vec v=|\vec u|\times|\vec v|=AB\times AC (car cos (u,v)=cos0=1\cos\ (\vec u,\vec v)=\cos 0 =1)

  • Si u\vec u et v\vec v sont de sens contraire, alors u×v=u×v=AB×AC\vec u \times \vec v=-|\vec u|\times|\vec v|=-AB\times AC (car cos (u,v)=cosπ=1\cos\ (\vec u,\vec v)=\cos \pi =-1)

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Propriété

Carré scalaire :

Soit un vecteur u\vec u.

Le carré scalaire de u\vec u, noté u2\vec u^2, est le nombre réel défini par u2=uuu^2=\vec u \cdot \vec u On a u2=u2u^2=|\vec u ^2|.

Propriétés de calcul

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Propriété

Quels que soient les vecteurs u,v et w\vec u,\vec v\text{ et }\vec w, on a :

uv=vu\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u

u(v+w)=uv+uw\vec u \cdot \big(\vec v+\vec w\big)=\vec u \cdot \vec v+\vec u \cdot \vec w

u(kv)=(ku)v=k uv\vec u \cdot \big(k\vec v\big)=\big(k\vec u\big) \cdot \vec v=k\ \vec u \cdot \vec v

(u+v)2=u2+2 uv+v2\big(\vec u+\vec v\big)^2=\vec u^2+2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2

(uv)2=u22 uv+v2\big(\vec u-\vec v\big)^2=\vec u^2-2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2

(u+v)(uv)=u2v2\big(\vec u+\vec v\big)\big(\vec u-\vec v\big)=\vec u^2-\vec v^2

Lien entre produit scalaire et orthogonalité

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Rappel

On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont orthogonales.

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Propriété

Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

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Exemple

En effet,

uv=u×v×cos(u,v)=AB×AC×cos(π2)=AB×AC×0=0\begin{aligned}\vec u \cdot \vec v&=|\vec u|×|\vec v|×\cos \big(\vec u, \vec v\big)\&= AB×AC×\cos \Big(\dfrac\pi2\Big)\&=AB\times AC\times 0=0\end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.

Autres expressions du produit scalaire

Projection orthogonale

L’expression de base du produit scalaire de deux vecteurs est u.v=u×v×cos(u,v)\vec u.\vec v=|\vec u|×|\vec v|×\cos \big(\vec u, \vec v\big) mais il est parfois impossible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs grâce à cette expression.

En effet, les énoncés ne donnent pas toujours l’angle (u,v)\big(\vec u,\vec v\big)

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Définition

Projection orthogonale :

Soit trois points A, B et CA,\ B\text{ et }C. On appelle projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) le point HH d’intersection entre (AB)(AB) et la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par CC.

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Propriété

Si (AB,AC)<π2\Big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac\pi2 alors AB×AC=AB×AH\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=AB×AH

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Propriété

Si (AB,AC)>π2\Big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac\pi2 alors AB×AC=AB×AH\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=-AB×AH

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Exemple

On cherche à calculer le produit scalaire AB×AC\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} mais on ne connaît pas l’angle formé par ces deux vecteurs.

On va donc devoir utiliser le point HH qui est le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC).

AB×AC=AC×AB=AC×AH=7×4=28\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AC} \times\overrightarrow{AB}\&=AC \times AH\&=7 \times 4\&=28\end{aligned}

Produit scalaire dans une base orthonormée

Il est également possible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormée grâce aux coordonnées de ces vecteurs.

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Propriété

Dans un repère orthonormé, soient deux vecteurs u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}

Alors :

uv=xx+yy\vec u \cdot \vec v=xx'+yy'

u2=x2+y2|\vec u|^2=x^2+y^2

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Exemple

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1; 2), B(3; 7) et C(4; 5)A(-1 ;\ 2),\ B(3 ;\ 7)\text{ et }C(4 ;\ -5). On cherche à calculer AB×AC:\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} :

  • Les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} sont :

AB(xBxAyByA)=AB(3(1)72)=AB(45)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} {xB-xA} \ {yB-yA}\end{pmatrix} =\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1) \ 7-2\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\5\end{pmatrix}

  • Les coordonnées de AC\overrightarrow{AC} sont :

AC(xCxAyCyA)=AC(4(1)52)=AC(57)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} {xC-xA} \ {yC-yA}\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1) \ -5-2\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5 \ -7\end{pmatrix}

  • Alors AB×AC=4×5+5×(7)=2035=15\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=4×5+5×(-7)=20-35=-15

Expression avec les normes

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Propriété

Si u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs du plan,

u×v=12[u2+v2uv2] =12[u+v2u2v2]\begin{aligned}\vec u \times \vec v&=\dfrac12\big[|u|^2+|v|^2-|u-v|^2\big] \ &=\dfrac12\big[|u+v\parallel^2-|u|^2-|v|^2\big]\end{aligned}

produit scalaire mathématiques première s

En particulier, AB×AC=12(AB2+AC2BC2)\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\dfrac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big)

Applications du produit scalaire

Calculs d’angles et de longueurs

L’une des applications du produit scalaire est le calcul d’angles et de longueurs. Pour cela, il existe deux théorèmes :

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Théorème

Théorème de la médiane :

Soit A, B et MA,\ B\text{ et }M trois points du plan et II le milieu de [AB][AB]

On a alors MA2+MB2=2MI2+12AB2MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2

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Théorème

Théorème d’Al-Kashi :

Soit ABCABC un triangle. En posant a=BC, b=AC et c=ABa=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB on a :

a2=b2+c22bccosA^a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A

b2=a2+c22accosB^b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B

c2=a2+b22abcosC^c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C

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À retenir

Le théorème d’Al-Kashi est la relation généralisée de Pythagore.

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Exemple

Soit le triangle ABCABC.

L’objectif est de déterminer la longueur ABAB puis une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB}.

Pour calculer la longueur ABAB, on utilise le théorème de la médiane.

On a ici :

BA2+BC2=2BI2+12AC2BA2+72=2×62+12×42BA2=2×36+12×1649AB2=31AB=31\begin{array}{rl} \ &BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac12AC^2 \ \Leftrightarrow&BA^2+7^2=2×6^2+\dfrac12×4^2 \ \Leftrightarrow&BA^2=2×36+\dfrac12×16-49 \ \Leftrightarrow&AB^2=31 \ \Leftrightarrow&AB=\sqrt{31} \end{array}

Puis, pour donner une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB}, comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on utilise le théorème d’Al-Kashi :

 a2=b2+c22bccosA^BC2=AC2+AB22×AC×AB×cosCAB^72=42+3122×4×31×cosCAB^2×4×31×cosCAB^=42+31272831cosCAB^=16+3149cosCAB^=2831CAB^92,57°1,62 rad\begin{array}{cl} \ &a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat A \ ⇔&BC^2=AC^2+AB^2-2×AC×AB×\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&7^2=4^2+\sqrt{31}^2-2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} =4^2+\sqrt{31}^2-7^2 \ ⇔&8\sqrt{31}\cos \widehat{CAB} =16+31-49\ \Leftrightarrow&\cos \widehat{CAB} =\dfrac{-2}{8\sqrt{31}} \ \Leftrightarrow& \widehat{CAB}≈92,57\degree≈1,62\ rad \end{array}

Équations de droites

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Définition

Vecteur normal à une droite :

Soit u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D une droite.

On dit que u\vec u est un vecteur normal à D\mathscr D si u\vec u est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

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Propriété

Soit un vecteur non nul n(ab)\vec n\begin{pmatrix} a\b \end{pmatrix} et soit D\mathscr D une droite.

n\vec n est un vecteur normal à D\mathscr D si, et seulement si, D\mathscr D admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0

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Exemple

Soit A(2 ;1);A(2\ ; -1) ; on souhaite déterminer une équation de la droite D\mathscr D de vecteur normal n(13)\vec n\begin{pmatrix} 1\3 \end{pmatrix} et passant par le point AA.

On pose M(x ;y)M(x\ ;y) appartenant à la droite D\mathscr D.

Le vecteur AM\overrightarrow{AM} est alors un vecteur directeur de D\mathscr D.

AM(xMxAyMyA)=AM(x2y+1)\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} xM-xA\yM-yA \end{pmatrix} =\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-2\y+1 \end{pmatrix}

Comme n\vec n est vecteur normal à D\mathscr D, n\vec n est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

 AM×n=0(x2)×1+(y+1)×3=0x2+3y+3=0x+3y+1=0\begin{array}{rl} \ &AM \times \vec n=0 \ \Leftrightarrow&(x-2)×1+(y+1)×3=0 \ \Leftrightarrow&x-2+3y+3=0 \ \Leftrightarrow&x+3y+1=0 \end{array}

Ainsi, x+3y+1=0x+3y+1=0 est une équation cartésienne de D\mathscr D.

Équations de cercles

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Définition

Équation de cercle :

Soit C\mathscr C un cercle de centre Ω(xΩ; yΩ)\Omega\big(x\Omega ; \ y\Omega\big) et de rayon RR

Une équation cartésienne du cercle C\mathscr C est : (xxΩ)2+(yyΩ)2=R2\big(x-x\Omega\big)^2+\big(y-y\Omega\big)^2=R^2

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Astuce

Le caractère grec Ω se lit oméga.

Il est possible de déterminer une équation d’un cercle de diamètre [AB][AB] grâce au produit scalaire.

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Propriété

Soit AA et BB deux points distincts.

L’ensemble des points MM tels que MA×MB=0\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

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Exemple

Soit le cercle C\mathscr C de diamètre [AB][AB] avec A(1 ; 1) et B(5 ;2)A(1\ ;\ 1)\text{ et }B(5\ ; -2).

Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle, tu peux utiliser la propriété précédente :

M(x ; y)M(x\ ; \ y) appartient au cercle C\mathscr C si, et seulement si, MA×MB=0\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0.

  • Les coordonnées du vecteur MA\overrightarrow{MA} sont : MA(xAxMyAyM)=MA(1x1y)\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} xA-xM\yA-yM \end{pmatrix} =\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix}1-x \ 1-y \end{pmatrix}.
  • Les coordonnées du vecteur MB\overrightarrow{MB} sont : MB(xBxMyByM)=MB(5x2y)\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix} xB-xM \ yB-yM \end{pmatrix} =\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix}5-x \ -2-y \end{pmatrix}.

MA×MB=0(1x)×(5x)+(1y)×(2y)=05x5x+x22y+2y+y2=0x26x+y2+y+3=0x3)29+(y+12)214+3=0(x3)2+(y+12)2=254\begin{aligned} &\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB}=0\&\Leftrightarrow(1-x)×(5-x)+(1-y)×(-2-y)=0 \ &\Leftrightarrow 5-x-5x+x^2-2-y+2y+y^2=0 \ &\Leftrightarrow x^2-6x+y^2+y+3=0\ &\Leftrightarrow x-3)^2-9+(y+\dfrac12)^2-\dfrac14+3=0 \ &\Leftrightarrow(x-3)^2+(y+\dfrac12)^2=\dfrac{25}4 \end{aligned}