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Marianne

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Produit scalaire

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Définition : norme d’un vecteur

Soit u\overrightarrow{u} un vecteur du plan et soient AA et BB deux points tels que  u\overrightarrow{u}AB\overrightarrow{AB}.

On appelle norme du vecteur u\overrightarrow{u} le réel positif ou nul, noté u|\vec u|, défini par u=AB|\vec u|=AB.

Les différentes expressions du produit scalaire

Propriété : produit scalaire

Soit u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u\overrightarrow{u} par v\overrightarrow{v}, le nombre réel noté u\overrightarrow{u}.v\overrightarrow{v} égal à :

  • 0 si l’un des deux vecteurs u\overrightarrow{u} ou v\overrightarrow{v} est nul.
  • u×v×cos(u,v)|\vec u|\times|\vec v|\times cos \big(\vec u,\vec v\big) si u0\vec u≠\vec 0 et v0\vec v≠\vec 0

Propriété : produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

u\overrightarrow{u}.v\overrightarrow{v}=AB\overrightarrow{AB}.AC\overrightarrow{AC}

  • =AB×AH=AB \times AH si AB\overrightarrow {AB} et AH\overrightarrow {AH} sont de même sens.
  • =AB×AH=-AB \times AH si AB\overrightarrow {AB} et AH\overrightarrow {AH} sont de sens contraire.

où HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB).

Propriété : carré scalaire

Soit un vecteur u\overrightarrow{u}. Le carré scalaire de u\overrightarrow{u}, noté u2\overrightarrow{u^2}, est le nombre réel défini par

u2\overrightarrow{u^2}=u\overrightarrow{u}.u\overrightarrow{u}

On a u2=u2u^2=|\vec u ^2|

Propriété : lien entre produit scalaire et orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

Propriété: Produit scalaire dans un repère orthonormé

 u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}v(xy)=xx+yy\vec v\begin{pmatrix} x' \ y '\end{pmatrix}=xx'+yy'

Propriété : Expression avec les normes

u×v=12[u2+v2uv2] =12[u+v2u2v2]\begin{aligned}\vec u \times \vec v&=\dfrac12\big[|u|^2+|v|^2-|u-v|^2\big] \ &=\dfrac12\big[|u+v\parallel^2-|u|^2-|v|^2\big]\end{aligned}

Propriétés de calcul du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs u\overrightarrow{u}v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w}, on a :

uv=vu\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u

u(v+w)=uv+uw\vec u \cdot \big(\vec v+\vec w\big)=\vec u \cdot \vec v+\vec u \cdot \vec w

u(kv)=(ku)v=k uv\vec u \cdot \big(k\vec v\big)=\big(k\vec u\big) \cdot \vec v=k\ \vec u \cdot \vec v

(u+v)2=u2+2 uv+v2\big(\vec u+\vec v\big)^2=\vec u^2+2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2

(uv)2=u22 uv+v2\big(\vec u-\vec v\big)^2=\vec u^2-2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2

(u+v)(uv)=u2v2\big(\vec u+\vec v\big)\big(\vec u-\vec v\big)=\vec u^2-\vec v^2

Applications du produit scalaire

  • Le théorème de la médiane :

Soient A,BA,B et MM trois points du plan et II le milieu de [AB][AB]. On a alors :

On a alors MA2+MB2=2MI2+12AB2MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2

Soit ABC un triangle.

En posant a=BC, b=AC et c=ABa=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB on a :

a2=b2+c22bccosA^a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A

b2=a2+c22accosB^b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B

c2=a2+b22abcosC^c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C

  • Les équations de droites :

Soit n\overrightarrow{n} un vecteur non nul et DD une droite.

On dit que n\overrightarrow{n} est un vecteur normal à DD si n\overrightarrow{n} est orthogonal à un vecteur directeur de DD.

Soit un vecteur non nul n(ab)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} et soit DD une droite. n\overrightarrow{n} est un vecteur normal à DD si et seulement si DD admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0.

  • Les équations de cercles :

Soit C\mathscr C un cercle de centre Ω(xΩ; yΩ)\Omega\big(x\Omega ; \ y\Omega\big) et de rayon RR

Une équation cartésienne du cercle C\mathscr C est : (xxΩ)2+(yyΩ)2=R2\big(x-x\Omega\big)^2+\big(y-y\Omega\big)^2=R^2

Soient AA et BB deux points distincts. L’ensemble des points MM tels que MA.MB=0\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= 0 est le cercle de diamètre [AB].