Cours Proportionnalité

Prérequis :

• cours de 5^e sur les fractions.
• cours de 5^e sur les nombres décimaux

Reconnaître et représenter une situation de proportionnalité

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre.

Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemple

• Pour passer de la masse au prix, on multiplie toujours par $3$.
• Le prix est donc proportionnel à la masse de tomates achetée.
• Le coefficient de proportionnalité est $3$.

Attention

Toutes les situations ne sont pas des situations de proportionnalité.

Exemple

L’âge et la taille d’un enfant ne sont pas proportionnels.

Lorsque l’âge passe de $5$ à $10$ ans, il est multiplié par $2$.

Mais :

$$110\times2=220\neq140$$

• La taille n’est donc pas multipliée par le même nombre.
• L’âge et la taille d’un enfant ne sont pas proportionnels.

À retenir

Pour déterminer si deux grandeurs sont proportionnelles, on peut chercher s’il existe un même coefficient de proportionnalité permettant de passer de l’une à l’autre.

Représenter graphiquement une situation de proportionnalité

Une situation mettant en relation deux grandeurs peut également être représentée dans un repère.

Exemple

Reprenons l’exemple des tomates à $3\ €$ le kilogramme.

À chaque colonne du tableau correspond un point du repère :

$$(0\,;0),\ (1\,;3),\ (2\,;6),\ (3\,;9),\ (4\,;12)$$

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.

• La situation est donc une situation de proportionnalité.

Exemple

Reprenons maintenant l’exemple de l’âge et de la taille d’un enfant.

On peut représenter ces données dans un repère.

Les points ne sont pas alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

• La taille d’un enfant n’est donc pas proportionnelle à son âge.

À retenir

Graphiquement, deux grandeurs sont proportionnelles si les points qui les représentent sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Résoudre des problèmes de proportionnalité

Pour résoudre un problème de proportionnalité, plusieurs méthodes sont possibles.

Le choix de la méthode dépend de la situation et des nombres utilisés.

Utiliser différentes procédures

Exemple

Une recette prévue pour $4$ personnes nécessite $300\ \text{g}$ de farine.

Pour $8$ personnes :

Le nombre de personnes est multiplié par $2$ :

$$4\times2=8$$

On multiplie donc aussi la quantité de farine par $2$ :

$$300\times2=600$$

• Il faut $600\ \text{g}$ de farine.

Pour $2$ personnes :

Le nombre de personnes est divisé par $2$ :

$$4\div2=2$$

On divise donc aussi la quantité de farine par $2$ :

$$300\div2=150$$

• Il faut $150\ \text{g}$ de farine.

Pour $6$ personnes :

$$4+2=6$$

On peut donc additionner les quantités correspondantes :

$$300+150=450$$

• Il faut $450\ \text{g}$ de farine.

On peut également effectuer un passage à l’unité.

Exemple

$4\ \text{kg}$ de pommes coûtent $10\ €$.

Le prix de $1\ \text{kg}$ est :

$$10\div4=2,5$$

Donc $3\ \text{kg}$ coûtent :

$$2,5\times3=7,5$$

• $3\ \text{kg}$ de pommes coûtent $7,50\ €$.

À retenir

Dans une situation de proportionnalité, on peut notamment :

• multiplier ou diviser les deux grandeurs par un même nombre ;
• additionner ou soustraire des valeurs correspondantes ;
• effectuer un passage à l’unité ;
• utiliser le coefficient de proportionnalité.

Proportions et pourcentages

Définition

Proportion :

Une proportion permet de comparer une partie à un ensemble.

Elle est égale au quotient :

$$\frac{\text{quantité considérée}}{\text{quantité totale}}$$

Exemple

Lors de l’élection des délégués d’une classe, $24$ élèves ont voté.

La proportion d’élèves ayant voté pour Chloé est :

$$\frac{6}{24}=\frac14$$

Cette proportion peut aussi s’exprimer sous forme de pourcentage :

$$\frac14=0,25=25\ \%$$

• Chloé a obtenu $25\ \%$ des voix.

De même :

• Salma a obtenu $50\ \%$ des voix ;
• Alexis a obtenu $12,5\ \%$ des voix ;
• Djibril a obtenu $12,5\ \%$ des voix.

Définition

Pourcentage :

Un pourcentage est une proportion exprimée sur $100$.

À retenir

Pour calculer $p\ \%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par :

$$\frac{p}{100}$$

Exemple

Un vêtement coûte $80\ €$ et bénéficie d’une réduction de $25\ \%$.

Le montant de la réduction est :

$$\frac{25}{100}\times80$$

Comme :

$$\frac{25}{100}=\frac14$$

on obtient :

$$\frac14\times80=20$$

La réduction est donc de $20\ €$.

Le nouveau prix est :

$$80-20=60$$

• Le vêtement coûte désormais $60\ €$.

Astuce

Certains pourcentages simples peuvent être calculés rapidement :

• $50\ \%$ d’une quantité correspond à sa moitié ;
• $25\ \%$ correspond à son quart ;
• $10\ \%$ correspond à son dixième.

Échelles

On dit qu'une reproduction (plan, carte, maquette, photo…) est à l'échelle lorsque toutes les dimensions sur la reproduction sont proportionnelles aux dimensions réelles.

Définition

Échelle :

L'échelle d'une reproduction est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions réelles aux dimensions sur la reproduction.

C'est donc le quotient $\frac{\text{dimension sur la reproduction}}{\text{dimension réelle}}$, les dimensions étant exprimées dans la même unité.

On peut l’illustrer de la manière suivante dans un tableau de proportionnalité :

À retenir

Une échelle s'exprime généralement sous la forme d'une fraction :

• de numérateur $1$ pour une réduction ;
• de dénominateur $1$ pour un agrandissement (pour un objet microscopique, par exemple).

Exemple

• Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{250\ 000}$ (on écrit aussi $1/250\ 000$) :
• $1\text{ cm}$ sur la carte représente $1\times 250\ 000\text{ cm}$ dans la réalité (soit $2\ 500\text{ m}$ ou $2,5\text{ km}$),
• $1\text{ km}$ dans la réalité ($100\ 000\text{ cm}$) est représenté par $100\ 000 \times \frac{1}{250\ 000}\text{ cm}$ sur la carte, soit $0,4\text{ cm}$ (ou $4\text{ mm}$).

• Sur une photo à l'échelle $\frac{2\ 000}1$ (on écrit aussi $2\ 000/1$) :
• $1\text{ cm}$ sur la photo représente $1 \times \frac{1}{2\ 000}\text{ cm}$ dans la réalité, soit $0,0005\text{ cm}$ (ou $0,005\text{ mm}$ ou $5\ \mu\text{m}$),
• $20\ \mu\text{m}$ dans la réalité ($0,002\text{ cm}$) sont représentés par $0,002 \times 2\ 000\text{ cm}$ sur la photo, soit $4\text{ cm}$.

Utiliser l'échelle d'une reproduction pour calculer une longueur ou une distance

• Antoine collectionne les maquettes d'avion. La plus grande de ses maquettes est une reproduction à l'échelle $1/80$ d'un avion qui mesure en réalité $37\text{ m}$ de long.
  Combien mesure cette maquette ?

$37\ \text{m}$ dans la réalité ($3\ 700\text{ cm}$) sont représentés par $3\ 700 \times \frac{1}{80}\text{ cm}$ sur la maquette, soit $46,25\text{ cm}$.

• La plus grande maquette d'Antoine mesure $46,25\text{ cm}$ de long.
• Cette maquette mesure $12\text{ cm}$ de haut.
  Quelle est la hauteur de l'avion « grandeur nature » ?

$12\text{ cm}$ sur la maquette représentent $12 \times 80\text{ cm}$ dans la réalité, soit $960\text{ cm}$ ou $9,6\text{ m}$.

• Dans la réalité, cet avion a une hauteur de $9,6\text{ m}$.

Voici le tableau de proportionnalité que nous aurions pu construire pour nous aider à effectuer nos calculs.
Attention, toutes les dimensions sont à entrer dans la même unité !

• Sur le plan touristique d'une ville à l'échelle $1/5\ 000$, deux monuments sont distants de $8\text{ cm}$ (à vol d'oiseau). Deux amies s'interrogent sur la distance réelle séparant les deux monuments. Émilie dit : « Je dirais au moins $400\text{ m}$ », Claire répond : « Pas du tout, à peine $200\text{ m}$ et on y est ! ».
  Laquelle des deux amies a raison ?

$8\text{ cm}$ sur le plan représentent $8 \times 5\ 000\text{ cm}$ dans la réalité, soit $40\ 000\text{ cm}$, soit $400\text{ m}$.

• C'est Émilie qui a raison car la distance réelle à parcourir serait déjà de $400\text{ m}$ à vol d'oiseau.

Déterminer l'échelle d'une reproduction

• Sur un dépliant de la ville de Paris, une photographie de la tour Eiffel mesure $6\text{ cm}$. Cette dernière mesure en réalité $300\text{ m}$.
  Quelle est l'échelle de la photographie ?

$6\text{ cm}$ sur la photographie représentent $300\text{ m}$ dans la réalité, soit $30\ 000\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{6}{30\,000}\text{ cm}$ sur la photographie.

$$\frac{6}{30\ 000} = \frac{6\times 1}{6\times 5\ 000} = \frac{1}{5\,000}$$

• L'échelle de la photographie est $1/5\,000$.

• Pour un exposé, un élève a dessiné une abeille de $21\text{ cm}$ de long.
  Sachant qu'en réalité une abeille mesure en moyenne $15\text{ mm}$, quelle est l'échelle de son dessin ?

$21\text{ cm}$ sur le dessin représentent $15\text{ mm}$ dans la réalité, soit $1,5\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{21}{1,5} = 14\text{ cm}$ sur le dessin.

• L'échelle du dessin est $14/1$.

Ratios

Vous avez déjà rencontré, dans des problèmes du quotidien, la notion de ratio : dans une recette de cuisine, pour indiquer les quantités de différents ingrédients les unes par rapport aux autres, dans certains mélanges ou encore pour partager une quantité.

Comprendre un ratio

Un petit paquet de bonbons contient $ \textcolor{#FF0000}2$ bonbons à la fraise et $\textcolor{#3CB371}3$ bonbons à la menthe :

Le paquet contient donc, au total, $ \textcolor{#FF0000}2+ \textcolor{#3CB371}3= \textcolor{#800080}5$ bonbons.
Nous connaissons la notion de proportion, que nous utilisons pour comparer la quantité de bonbons à la fraise, ou celle de bonbons à la menthe, en fonction de la quantité totale et que nous pouvons exprimer sous la forme de fraction :

• sur $\textcolor{#800080}5$ bonbons, $ \textcolor{#FF0000}2$ sont à la fraise,
• $\frac { \textcolor{#FF0000}2}{ \textcolor{#800080}5}$ des bonbons sont à la fraise ;
• sur $\textcolor{#800080}5$ bonbons, $ \textcolor{#3CB371}3$ sont à la menthe,
• $\frac { \textcolor{#3CB371}3}{ \textcolor{#800080}5}$ des bonbons sont à la menthe.

Cette proportion pourrait aussi s’exprimer sous forme de pourcentage :

• 40% des bonbons sont à la fraise
• 60% des bonbons sont à la menthe

Mais nous pouvons aussi comparer la quantité de bonbons à la fraise par rapport à celle de bonbons à la menthe : pour $ \textcolor{#FF0000}2$ bonbons à la fraise, il y a $\textcolor{#3CB371}3$ bonbons à la menthe.

Définition

Ratio :

Dire que deux quantités sont dans le ratio $m:n$ signifie que, pour $m$ parts de la première quantité, il y a $n$ parts de la seconde.

Dans notre exemple :

• le nombre de bonbons à la fraise et celui de bonbons à la menthe sont dans le ratio $2:3$ ;
• on lit « deux pour trois ».

Attention

L’ordre est important.

Le ratio fraise : menthe est $2:3$, alors que le ratio menthe : fraise est $3:2$.

Partager une quantité selon un ratio

Exemple

On souhaite partager $10\ €$ entre deux personnes selon le ratio $2:3$.

Le ratio représente :

$$2+3=5$$

parts au total.

La valeur d’une part est :

$$10\div5=2\ €$$

La première personne reçoit $2$ parts :

$$2\times2=4\ €$$

La seconde reçoit $3$ parts :

$$3\times2=6\ €$$

• Les deux personnes reçoivent donc respectivement $4\ €$ et $6\ €$.

À retenir

Pour partager une quantité selon le ratio $m:n$ :

• on calcule $m+n$ pour connaître le nombre total de parts ;
• on divise la quantité totale par ce nombre pour déterminer la valeur d’une part ;
• on multiplie la valeur d’une part par chacun des nombres du ratio.

La même méthode peut être utilisée avec trois quantités.

Exemple

Rym, avec deux amis, Ismaël et Louis, a cueilli dans son jardin $36\ \text{kg}$ de pommes. Elle a commencé avant eux, et Louis est arrivé après Ismaël. Ainsi :

• Louis a travaillé pendant $\textcolor{#FF0000}{20\ \text{min}}$ ;
• Ismaël a travaillé pendant $\textcolor{#3CB371}{30\ \text{min}}$ ;
• Rym a travaillé pendant $\textcolor{#B22222}{40\ \text{min}}$.

Ils ont décidé, pour être équitables, de se partager la récolte selon le temps passé. La masse de pommes sera donc répartie entre Louis, Ismaël et Rym selon le ratio $\textcolor{#FF0000}{20}:\textcolor{#3CB371}{30}:\textcolor{#B22222}{40}$, que l’on peut simplifier en $\textcolor{#FF0000}{2}:\textcolor{#3CB371}{3}:\textcolor{#B22222}{4}$.

Le nombre total de parts est :

$$2+3+4=9$$

Les $36\ \text{kg}$ de pommes doivent donc être répartis en $9$ parts égales.

La masse correspondant à une part est :

$$36\div9=4\ \text{kg}$$

Ainsi :

• Louis reçoit $2$ parts :

$$2\times4=8\ \text{kg}$$

• Ismaël reçoit $3$ parts :

$$3\times4=12\ \text{kg}$$

• Rym reçoit $4$ parts :

$$4\times4=16\ \text{kg}$$

On vérifie :

$$8+12+16=36$$

• Louis reçoit donc $8\ \text{kg}$, Ismaël $12\ \text{kg}$ et Rym $16\ \text{kg}$.

À retenir

Pour partager une quantité selon un ratio $m:n:p$ :

• on calcule $m+n+p$ ;
• on détermine la valeur d’une part ;
• on multiplie cette valeur par chacun des nombres du ratio.