Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Raisonnement par récurrence". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_0=2 \\
\text{pour tout entier naturel }n: u_{n+1}=\dfrac {5 u_n}{1+2u_n}\end{cases}$$
On admet que tous les termes de la suite sont définis et strictement positifs.
$$f(x)=\dfrac{5x}{1+2x}$$
En observant d’abord que, pour tout $n\in \mathbb N$, $u_{n+1}=f(u_n)$,
démontrer par récurrence que la propriété $P_n$ : $2\leq u_n\leq \frac 52$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
On donne la suite définie par $u_{n+1}=\frac{1}{8}u_n+\frac{7}{2}$ et $u_0=72$.
Calculer $u_1$ sans calculatrice et en détaillant les calculs.
On s'intéresse à l'égalité suivante :
$1+2+…+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
La démontrer par récurrence.
Démontrer que l'inégalité (I) $(1+x)^2\geq 1+2x$ est vraie pour tout réel $x$.
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