Cours Représentation de l'espace
Introduction :
L’objectif de ce cours est de découvrir les différentes manières de représenter des solides : que ce soit « à plat » sur une feuille de papier ou bien dans l’espace. Nous allons étudier en particulier le pavé droit, le prisme droit et le cylindre de révolution, selon deux types de représentations : dans un premier temps en perspective cavalière et, dans un deuxième temps, à l’aide d’un patron.
Pour bien comprendre ce cours, il faut savoir reconnaître les principaux solides étudiés en $6^{e}$, n’hésite pas à aller consulter le cours voir dans l’espace et calculer des volumes.
Représenter un solide en perspective cavalière
Un solide ne peut pas tenir entièrement sur une feuille. La façon de le représenter « à plat », de telle sorte qu’on reconnaisse que c’est un solide et de quel solide il s’agit, s’appelle la perspective cavalière.
Définition
Perspective cavalière :
La perspective cavalière est le procédé de dessin utilisé en mathématiques pour représenter dans le plan (une feuille) un objet de l’espace (un solide).
En perspective cavalière :
- les faces « avant » et « arrière » du solide peuvent être représentées en vraie grandeur ;
- les autres faces (dessus, dessous, latérales…) sont déformées selon les règles suivantes :
- les arêtes fuyantes sont représentées plus petites que dans la réalité ;
- les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
- celles parallèles et de même longueur restent de même longueur ;
- les milieux restent au milieu ;
- les points alignés restent alignés ;
- les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
Méthode :
Pour le pavé droit :
- nous traçons un rectangle en vraie grandeur (ce sera la face « avant ») ;
- depuis les 4 sommets du rectangle, nous traçons 4 segments parallèles et de même longueur (les 4 arêtes fuyantes) en veillant à tracer l’arête cachée en pointillés ;
- relier les 4 extrémités des segments en veillant à tracer les 2 arêtes cachées en pointillés.
- vérifier que l’on obtient bien un rectangle (la face « arrière ») identique au premier.
Définition
Polyèdre :
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.
On peut représenter en perspective cavalière des polyèdres, comme le cube, le pavé droit ou le prisme droit.
On peut aussi représenter des solides qui ne sont pas des polyèdres, comme le cylindre de révolution.
Représenter un solide à l’aide d’un patron
Une autre manière de représenter un solide consiste à mettre toutes ses faces à plat. On obtient alors un patron du solide.
Définition
Patron d’un solide :
Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.
Patron d’un pavé droit
Définition
Pavé droit :
Un pavé droit est un solide dont toutes les faces sont des rectangles.
À retenir
Un patron de pavé droit est composé de 6 rectangles :
- 2 faces avant/arrière ;
- 2 faces latérales ;
- 1 face du dessus ;
- 1 face du dessous.
Exemple
Reprenons le pavé droit de l’exemple précédent.
Imaginons que nous fassions « tomber » ce solide sur la feuille sur laquelle il est posé de la façon suivante :
- la face avant vers l’avant,
- la face arrière vers l’arrière,
- la face latérale droite à droite,
- la face latérale gauche à gauche,
- la face du dessus reste « accrochée » à la face latérale droite et tombe avec elle, dans son prolongement.
Voici le patron à découper que nous obtenons en vraie grandeur :
Attention
À noter qu’il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide. Nous aurions pu décider de laisser la face du dessus « accrochée » à la face arrière. Nous aurions alors obtenu le patron suivant :
Patron d’un prisme droit
Définition
Prisme droit :
Un prisme droit est un solide dont :
- deux des faces, appelées bases, sont des polygones superposables et parallèles ;
- les autres faces, dites latérales, sont des rectangles.
À retenir
Un patron de prisme droit est composé :
- de deux bases superposables ;
- de rectangles correspondant aux faces latérales.
Exemple
Construisons un patron du prisme droit ci-dessous, dont les deux bases sont des triangles.
- Il y a donc $2$ faces triangulaires et $3$ faces rectangulaires.
Le plus simple ici est de « poser » le prisme sur le rectangle de $3 \times 6\text{ cm}$ et de faire « tomber » les autres faces tout autour. La deuxième dimension des rectangles 1 et 2 s’obtient en reportant au compas la longueur des deux côtés égaux des triangles isocèles.
Cela donne le patron suivant :
Patron d’un cylindre de révolution
Définition
Cylindre de révolution :
Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.
- « Révolution » signifie ici rotation autour d’un axe.
À retenir
Un patron de cylindre de révolution est composé :
- d’un rectangle, qui correspond à la surface latérale ;
- de deux disques superposables, qui correspondent aux bases.
Exemple
Construisons un patron du cylindre de révolution ci-dessous.
- Commençons par représenter la surface latérale du cylindre.
Ses dimensions sont données par :
- la hauteur du cylindre, soit : $OO^{\prime}=5\ \text{cm}$ ;
- la circonférence de chaque base, identique pour les deux bases constituée d’un disque de rayon $2\ \text{cm}$ :
$$\begin{aligned} 2\pi \times 2&\approx 2\times 3,14\times 2 \\ &\approx 12,56\ \text{cm} \end{aligned}$$
Comme il s’agit de dessiner le patron, nous arrondissons cette dernière longueur au millimètre près, elle est ainsi environ égale à $12,6\ \text{cm}$.
- La surface latérale est un rectangle de longueur $12,6\ \text{cm}$ environ et de largeur $5\ \text{cm}$.
- Représentons ensuite, par exemple, la base inférieure (celle « sur le sol ») du cylindre.
Pour cela :
- nous marquons un point sur le côté inférieur de la surface latérale (celui qui nous plaît, pas trop proche du bord) ;
- puis nous traçons, à partir de ce point, une demi-droite perpendiculaire au côté du rectangle, vers le bas ;
- enfin, nous mesurons $2\ \text{cm}$ sur cette demi-droite, à partir du point, pour placer le centre $O$.
- Nous pouvons maintenant tracer le cercle de centre $O$, pour obtenir le disque qui touche le cylindre au point que nous avons marqué.
- Pour la base supérieure (celle « au plafond »), nous opérons de même, en partant du côté supérieur de la face latérale.
- On peut effacer les éléments de construction, et le patron est terminé :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à représenter des solides dans le plan, soit en perspective cavalière pour donner une impression de volume, soit à l’aide d’un patron. La perspective cavalière permet de représenter un solide dans le plan en donnant une impression de volume. Cette notion de représentations des solides est primordiale pour le développement de notre vision de l’espace et pour s’y repérer. En $4^{e}$, nous effectuerons le même travail avec des pyramides et des cônes de révolution.
