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Représentation d'un solide en perspective cavalière et en 3D à l'aide d'un patron

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Introduction :

Les solides sont des figures géométriques qui possèdent un relief. L’objectif de ce cours est de découvrir les différentes manières de les représenter : que ce soit « à plat », sur une feuille de papier, ou bien dans l’espace.

Pour cela, après un rapide rappel de la définition d’un solide, nous définirons les deux types de représentations d’un solide utilisées : la perspective cavalière et le patron.

Rappels

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Définition

Solide :

Un solide est une portion d’espace limitée par une surface fermée indéformable.

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À retenir

  • Les solides sont des formes géométriques de dimension 3 : ils ont une épaisseur, un relief… Ainsi, on pourra chercher à mesurer :
  • des longueurs,
  • des aires,
  • et des volumes.
  • En comparaison, les lignes sont des formes géométriques de dimension 1 (on ne peut parler que de longueurs) et les surfaces sont des formes géométriques de dimension 2 (on peut parler de longueurs et d’aires).
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Définition

Face :

Une face est une surface plane d’un solide.

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Astuce

Beaucoup de solides n’ont pas de surfaces planes, comme la boule par exemple.

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Définition

Arête :

Une arête est un segment commun à deux faces d’un solide.

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Définition

Arête fuyante :

Une arête fuyante est une arête qui relie la face avant à la face arrière d’un solide.

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Définition

Sommet :

Un sommet est une extrémité d’une arête d’un solide.

solide perspective cavalière

Représentation en 2D : la perspective cavalière

Un solide ne peut pas tenir entièrement sur une feuille. La façon de le représenter « à plat » de telle sorte qu’on reconnaisse que c’est un solide et de quel solide il s’agit s’appelle la perspective cavalière.

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Définition

Perspective cavalière :

La perspective cavalière est le procédé de dessin utilisé en mathématiques pour représenter dans le plan (une feuille) un objet de l’espace (un solide).

En perspective cavalière :

  • les faces avant et arrière du solide peuvent être représentées en vraie grandeur ;
  • les autres faces (dessus, dessous, latérales…) sont déformées selon les règles suivantes :
  • les arêtes fuyantes sont représentées plus petites que dans la réalité (entre 12\frac 12 et 23\frac 23 de la réalité) en suivant un angle d’environ 30°30\degree à 40°40\degree par rapport à l’horizontale ;
  • les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
  • celles parallèles et de même longueur restent de même longueur ;
  • les milieux restent au milieu ;
  • les points alignés restent alignés ;
  • les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
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Exemple

Pour représenter un pavé droit :

  • tracer un rectangle en vraie grandeur (ce sera la face avant) ;
  • depuis les 4 sommets du rectangle, tracer 4 segments parallèles et de même longueur (les 4 arêtes fuyantes) en veillant à tracer l’arête cachée en pointillés ;
  • relier les 4 extrémités des segments en veillant à tracer les 2 arêtes cachées en pointillés.
  • vérifier que l’on obtient bien un rectangle (la face arrière) identique au premier.

représentation d’un solide mathématiques cinquième

Représentation en 3D : l’utilisation d’un patron

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Définition

Patron d’un solide :

Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.

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Exemple

Reprenons le pavé droit de l’exemple précédent.

représentation d’un solide mathématiques cinquième

Imaginons que nous faisons « tomber » ce solide sur la feuille sur laquelle il est posé de la façon suivante :

  • la face avant vers l’avant,
  • la face arrière vers l’arrière,
  • la face latérale droite à droite,
  • la face latérale gauche à gauche,
  • la face du dessus reste « accrochée » à la face latérale droite et tombe avec elle, dans son prolongement.

Voici le patron à découper que nous obtenons en vraie grandeur :

patron d’un solide mathématiques cinquième

Pour visualiser le pliage à effectuer, revenons à une vue en perspective de notre patron :

patron d’un solide mathématiques cinquième

Commençons maintenant notre pliage :

patron d’un solide mathématiques cinquième

Collons les arêtes :

patron d’un solide mathématiques cinquième

Nous obtenons finalement notre pavé droit en 3D :

patron d’un solide mathématiques cinquième

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Attention

À noter qu’il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide. Nous aurions pu décider de laisser la face du dessus « accrochée » à la face arrière. Nous aurions alors obtenu le patron suivant :

patron d’un solide mathématiques cinquième

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à représenter les solides « à plat » mais aussi en 3D par la construction d’un patron qui nous permet de représenter exactement un solide tel qu’il est dans la réalité, c'est-à-dire en relief.
Cette notion de solides et de représentations est primordiale pour le développement de notre vision de l’espace.