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Représenter un prisme, un cône, une pyramide et un cylindre

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Introduction :

Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons des objets que l’on représente en mathématiques par des solides. Nous avons déjà étudié le pavé droit. L’objectif de ce cours est d’agrandir notre champ de connaissance des solides et d’apprendre à représenter ces différents solides.

Pour cela, nous étudierons et représenterons successivement le prisme droit, la pyramide, le cylindre de révolution et enfin le cône de révolution.

Le prisme droit

Généralités

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Définition

Prisme droit :

Un prisme droit est un solide dont deux des faces sont superposables et parallèles.

  • Les deux faces superposables et parallèles d’un prisme droit sont appelées bases.
  • Les bases d’un prisme droit sont reliées par des faces rectangulaires, appelées faces latérales.
  • La hauteur d’un prisme droit correspond à la hauteur des rectangles qui composent ses faces latérales.

prisme droit solides mathématiques cinquième

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Propriété

  • Les arêtes latérales sont parallèles entre elles et perpendiculaires aux plans des bases.
  • Elles sont de même longueur ; c’est la hauteur du prisme.

Cas particuliers

Le pavé droit (parallélépipède rectangle) est un prisme droit à bases rectangulaires : toutes ses faces sont des rectangles.

pavé droit solides mathématiques cinquième

Le cube est un prisme droit dont toutes les faces sont des carrés.

cube solides mathématiques cinquième

Patron d’un prisme droit

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À retenir

Le patron d’un prisme droit est composé de deux bases identiques et d’autant de rectangles que le polygone de base a de côtés.

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Exemple

Construisons un patron du prisme droit ci-dessous.

prisme droit solides mathématiques cinquième

Le plus simple ici est de « poser » le prisme sur le rectangle de 6×3 cm6 \times 3\text{ cm} et de faire tomber les autres faces tout autour.

Cela donne le patron suivant :

patron prisme droit solides mathématiques cinquième

La pyramide

Généralités

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Définition

Pyramide :

Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui ont un sommet en commun.

  • Le sommet commun des faces latérales d’un pyramide est appelé sommet de la pyramide.
  • La distance entre le sommet d’une pyramide et sa base correspond à la hauteur de la pyramide.

pyramide solides mathématiques cinquième

Cas particuliers

Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier (tous ses côtés sont de même longueur : carré, triangle équilatéral…).

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Propriété

Soient OO le centre du polygone régulier de base et SS le sommet de la pyramide :

  • [SO][SO] est la hauteur de la pyramide ;
  • toutes les faces latérales sont des triangles isocèles en SS et superposables.

pyramide solides mathématiques cinquième

pyramide solides mathématiques cinquième

Patron d’une pyramide

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À retenir

Le patron d’une pyramide est composé de la base et d’autant de triangles que la base a de côtés.

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Exemple

Construisons un patron de la pyramide ci-dessous.

pyramide solides mathématiques cinquième

Ce patron sera composé de la base ABCABC et de trois triangles ACSACS, ABSABS et BCSBCS.

Pour le construire :

  • on commence par tracer la base ABCABC ;
  • depuis le milieu de [AC][AC], on trace ensuite une perpendiculaire à (AC)(AC) et on positionne le point SS à 6 cm6\text{ cm} de (AC)(AC). On remarque que le triangle ACSACS est isocèle en SS avec AS=CSAS = CS ;
  • on reporte ensuite la longueur ASAS (ou CSCS) depuis les points AA et CC en traçant des arcs de cercles ;
  • on trace enfin deux autres arcs de cercle issus de BB et de rayon 7,55 cm7,55\text{ cm}. Les intersections de ces arcs de cercle avec les précédents permettent de déterminer les deux autres « positions » du point SS ;
  • on termine le patron en traçant les triangles ABSABS et BCSBCS.

Cela donne le patron suivant :

patron pyramide solides mathématiques cinquième

Le cylindre de révolution

Généralités

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Définition

Cylindre de révolution :

Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.

cylindre de révolution solides mathématiques cinquième

  • Les bases d’un cylindre de révolution sont deux disques de même rayon.
  • Le rayon d’un cylindre de révolution correspond au rayon des bases de ce cylindre.
  • La distance entre les deux bases d’un cylindre de révolution correspond à sa hauteur.
  • La face latérale d’un cylindre de révolution est une surface courbe.

cylindre de révolution solides mathématiques cinquième

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Propriété

  • Les plans des bases d’un cylindre sont parallèles.
  • La hauteur du cylindre est perpendiculaire aux plans des bases.
  • Déroulée, la face latérale d’un cylindre est un rectangle.

Patron d’un cylindre de révolution

Le patron d’un cylindre de hauteur hh et de rayon rr est composé des deux disques de base (de rayon rr) répartis de part et d’autre d’un rectangle (surface latérale du cylindre). Ce rectangle a pour hauteur la hauteur du cylindre hh et pour longueur la circonférence des disques de bases égale à 2πr2\pi r.

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Exemple

Construisons un patron du cylindre de révolution ci-dessous.

cylindre de révolution solides mathématiques cinquième

Ce patron est composé de deux disques de rayon 2 cm2\text{ cm} répartis de part et d’autre d’un rectangle de hauteur 5 cm5\text{ cm} et de longueur 2×π×r2 \times \pi \times r soit : 2×π×212,6 cm2 \times \pi \times 2 \approx 12,6\text{ cm}.

Cela donne le patron suivant :

patron cylindre de révolution solides mathématiques cinquième

Le cône de révolution

Généralités

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Définition

Cône de révolution :

Un cône de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit.

cône de révolution solides mathématiques cinquième

  • Une extrémité de ce côté est le sommet du cône.
  • L’autre extémité est le centre de la base du cône, disque dont le rayon est appelé rayon du cône.
  • La distance entre le sommet et la base est la hauteur du cône.
  • Une génératrice du cône est un segment reliant le sommet à un point du cercle base.

cône de révolution solides mathématiques cinquième

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Propriété

  • La hauteur du cône est perpendiculaire au plan de base.
  • La surface latérale du cône est appelé secteur angulaire.

Patron d’un cône de révolution

Le patron d’un cône de hauteur hh et de rayon rr est composé du disque de base (de rayon rr) et d’un secteur angulaire (surface latérale du cylindre). Ce secteur angulaire a pour rayon la longueur d’une génératrice et pour longueur la circonférence du disque de base égale à 2πr2 \pi r.

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Exemple

Construisons un patron du cône ci-dessous.

cône de révolution solides mathématiques cinquième

Le patron de ce cône est composé d’un disque de rayon 1,5 cm1,5\text{ cm} et d’un secteur angulaire de rayon 6 cm6\text{ cm} et de longueur 2×π×1,52 \times \pi \times 1,5

2×π×62\times \pi \times 6 serait la circonférence d’un cercle de rayon 6 cm6\text{ cm}

Or 1,5=14×61,5 = \frac 14 \times 6 donc 2×π×1,52 \times \pi \times 1,5 est la longueur de l’arc d’14\frac 14 de cercle de rayon 6 cm6\text{ cm}.

L’angle du secteur angulaire recherché mesure donc 14\frac 14 de 360°360\degree soit 90°90\degree.

Cela donne le patron suivant :

patron cône de révolution solides mathématiques cinquième

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons étudié différents solides : le prisme droit, la pyramide, le cylindre de révolution et le cône de révolution. Nous avons également appris à les représenter en perspective cavalière et en 3D, par la construction d’un patron.