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Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace

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Introduction :

En géométrie plane, nous avons, en seconde et en première, appris à trouver l’équation cartésienne d’une droite du plan à partir d’un vecteur directeur ou d’un vecteur normal à cette droite.
La traduction d’un problème de géométrie par du calcul sur les coordonnées, en utilisant ces équations, s’appelle de la géométrie analytique.

Dans l’espace, un travail similaire va nous permettre de représenter une droite ou un plan de l’espace par des équations.
Dans une première partie, nous étudierons la représentation paramétrique d’une droite et comment s’en servir pour prouver l’alignement.
Ensuite, dans une deuxième partie, nous modéliserons l’appartenance à un plan par une équation vérifiée par les coordonnées.
Enfin, nous nous servirons de ces équations pour étudier certaines configurations géométriques.

  • Dans tout le chapitre, nous travaillerons dans l’espace noté E\mathcal E, muni d’un repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).

Représentation paramétrique d’une droite

Représentation paramétrique d’une droite

(d)(d) est une droite de E\mathcal E passant par AA, de vecteur directeur u\vec u.
Rappelons d’abord la caractérisation d’une droite de E\mathcal E, que nous avons vue dans le cours « Vecteurs, droites et plans de l’espace ».

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Rappel

La droite (d)(d) passant par AA et de vecteur directeur u\vec u est l’ensemble des points MM tels que u\vec u et AM \overrightarrow{AM\ } sont colinéaires.

Img-01

Soit M(x ;y ;z)M\, (x\ ;\, y\ ;\, z) un point de E\mathcal E.
Nous cherchons une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées de MM pour qu’il appartienne à (d)(d).

M(x ;y ;z)(d) u et AM  sont colineˊaires il existe un nombre reˊel k tel que : AM =ku\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z) \in (d) \Leftrightarrow&\ \vec u \text{ et AM \overrightarrow{AM\ } sont colinéaires} \ \Leftrightarrow &\ \text{il existe un nombre réel kk tel que\ :} \ &\ \overrightarrow{AM\ }=k\cdot \vec u \end{aligned}

Notons les coordonnées de A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, z_A) et de u(αβγ)\vec u\begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ \gamma \end{pmatrix} dans le repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).

  • Nous avons alors :

AM (xxAyyAzzA)\overrightarrow{AM\ }\begin{pmatrix} x-xA \ y-yA \ z-z_A \end{pmatrix}

Traduisons l’égalité AM =ku\overrightarrow{AM\ }=k\cdot \vec u par les égalités des coordonnées de AM \overrightarrow{AM\ } et kuk\cdot \vec u. Ainsi :

M(x ;y ;z)(d) il existe un nombre reˊel k tel que : {xxA=kαyyA=kβzzA=kγ il existe un nombre reˊel k tel que : {x=kα+xAy=kβ+yAz=kγ+zA\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z) \in (d) \Leftrightarrow&\ \text{il existe un nombre réel kk tel que\ :} \ &\ \begin{cases} x-xA=k\alpha \ y-yA=k\beta \ z-zA=k\gamma \end{cases} \ \Leftrightarrow &\ \text{il existe un nombre réel kk tel que\ :} \ &\ \begin{cases} x=k\alpha+ xA \ y=k\beta + yA \ z=k\gamma+ zA \end{cases} \end{aligned}

En conclusion, s’il existe un réel kk tel que (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) vérifient les trois équations, alors M(d)M \in(d) ; si ce réel n’existe pas, alors M(d)M \notin (d).

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Attention

Dans ces trois équations, les coordonnées de AA et celles du vecteur u\vec u sont fixes.
Les coordonnées (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) dépendent de la position de MM sur la droite, donc de la valeur de kk.

  • Ce sont les variables de ce système.

Nous pouvons écrire les définitions et propriété suivantes.

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Définition

Représentation paramétrique d’une droite :

Soit (d)(d) la droite de EE passant par A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, z_A ) et de vecteur directeur u(αβγ)\vec u\begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ \gamma \end{pmatrix}.

On appelle représentation paramétrique (d)(d) le système d’équations :

{x=kα+xAy=kβ+yAouˋ kRz=kγ+zA\begin{cases} x=k\alpha+ xA \ y=k\beta + yA & \text{où }k\in \mathbb R \ z=k\gamma+ z_A \end{cases}

  • kk est appelé le paramètre de cette représentation.
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Propriété

Soit (d)(d) la droite de EE passant par A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, z_A ) et de vecteur directeur u(αβγ)\vec u\begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ \gamma \end{pmatrix}.

M(x ;y ;z)(d) il existe kR tel que : {x=kα+xAy=kβ+yAz=kγ+zA\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z) \in (d) \Leftrightarrow&\ \text{il existe $k\in \mathbb R$ tel que\ :} \ &\ \begin{cases} x=k\alpha+ xA \ y=k\beta + yA \ z=k\gamma+ z_A \end{cases} \end{aligned}

Prenons un exemple en cherchant une représentation paramétrique de l’axe (O ;ı)(O\ ;\, \vec \imath\,).

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Exemple

Dans le repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), ı(100)\vec \imath \begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF} 1 \ \textcolor{#3CB371}0 \ \textcolor{#BDB76B} 0 \end{pmatrix}.
L’axe (O ;ı)(O\ ;\, \vec \imath) passe par le centre O(0 ;0 ;0)O\,(\textcolor{#B22222} 0\ ;\, \textcolor{#FFA500} 0\ ;\, \textcolor{#9400D3}0) du repère.

  • Une représentation paramétrique de cet axe est donc :

{x=k×1+0y=k×0+0ouˋ kRz=k×0+0{x=ky=0ouˋ kRz=0\begin{cases} x=k\times\textcolor{#1E90FF} 1 + \textcolor{#B22222} 0 \ y=k\times\textcolor{#3CB371} 0 + \textcolor{#FFA500} 0 & \text{où } k\in\mathbb R \ z=k\times\textcolor{#BDB76B} 0 + \textcolor{#9400D3} 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=k \ y=0 & \text{où } k\in\mathbb R \ z=0 \end{cases}

De manière analogue, nous pourrions trouver des représentations paramétriques des deux autres axes du repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).

Après avoir étudié le cas particulier d’un axe du repère, nous allons illustrer ce mode de représentation et son utilité avec un exemple plus complet.

Comment utiliser la représentation paramétrique d’une droite de E\mathcal E

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Exemple

Img-02 (Indiquer les vecteurs unitaires.)

Dans le repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit les points A(3 ;5 ;1)A\, (3\ ;\, 5\ ;\, -1) et B(2 ;3 ;4)B\, (2\ ;\, 3\ ;\, 4).

  • Nous cherchons une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB).

Trouvons un vecteur directeur de (AB)(AB). Ici, nous avons :

AB (125)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 5 \end{pmatrix}

La droite (AB)(AB) est caractérisée par le point AA et le vecteur directeur AB (125)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF}{-1} \ \textcolor{#3CB371}{-2} \ \textcolor{#BDB76B} 5 \end{pmatrix}.

  • Donc une représentation paramétrique de (AB)(AB) est :

{x=1k+xAy=2k+yAouˋ kRz=5k+zADonc : {x=k+3y=2k+5ouˋ kRz=5k1\begin{aligned} &\begin{cases} x = \textcolor{#1E90FF}{-1} k + xA \ y = \textcolor{#3CB371}{-2} k + yA & \text{où }k\in \mathbb R \ z=\textcolor{#BDB76B} 5 k + z_A \end{cases} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} &\begin{cases} x=-k+3 \ y=-2k+5 & \text{où }k\in \mathbb R \ z=5k-1 \end{cases} \end{aligned}

Remarque :
Cette représentation paramétrique n’est pas unique.
En choisissant le point BB et un autre vecteur directeur de (AB)(AB), nous aurions obtenu une autre représentation paramétrique tout aussi valable.

  • Le point J(0 ;1 ;1)J\, (0\ ;\, -1\ ;\, 1) appartient-il à (AB)(AB) ?
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À retenir

Méthodologie :

Pour savoir si un point M(x ;y ;z)M\, (x\ ;\, y\ ;\, z) appartient à la droite (d)(d) dont on connaît une représentation paramétrique :

  • on remplace (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) dans le système par les coordonnées de MM ;
  • on obtient alors trois équations d’inconnue kk (c’est la même inconnue !) ;
  • on résout ces équations.
  • Si on trouve une solution, c’est-à-dire une seule valeur pour kk dans les trois équations, alors M(d)M\in (d).
  • Sinon M(d)M \notin (d).

Remplaçons donc (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) par (0 ;1 ;1)(0\ ;\, -1\ ;\, 1). Existe-t-il kRk \in \mathbb R tel que :

{0=k+31=2k+51=5k1\begin{cases} 0=-k+3 \ -1=-2k+5 \ 1=5k-1 \end{cases}

Résolvons ce système :

{0=k+31=2k+51=5k1{k=32k=65k=2{k=3k=3k=25\begin{aligned} \begin{cases} 0=-k+3 \ -1=-2k+5 \ 1=5k-1 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} k=3 \ 2k=6 \ 5k=2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} k=3 \ k=3 \ k=\frac 25 \end{cases} \end{aligned}

Ce système n’admet pas de solution.

  • En conclusion : J(AB)J\notin (AB).
  • Considérons maintenant la droite (d)(d^{\prime}) donnée par la représentation paramétrique :

{x=t3y=2touˋ tRz=15t\begin{cases} x=t-3 \ y=2t & \text{où }t\in \mathbb R \ z=1-5t \end{cases}

bannière attention

Attention

Il s’agit ici de deux droites différentes, nous n’utilisons donc pas le même paramètre pour les deux.

  • Le paramètre est souvent noté kk ou tt.

Quelle est la position relative de (d)(d^{\prime}) et de (AB)(AB) ?

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À retenir

Méthodologie :

Pour identifier une droite donnée par une représentation paramétrique, nous devons identifier dans le système d’équations :

  • les coordonnées d’un vecteur directeur ;
  • les coordonnées d’un point de cette droite.

Dans le cas de (d)(d^{\prime}) :

{x=1t3y=2t+0z=5t+1\begin{cases} x=\textcolor{#1E90FF}1t\textcolor{#B22222}{-3} \ y=\textcolor{#3CB371}2t+\textcolor{#FFA500}0 \ z=\textcolor{#BDB76B}{-5}t+\textcolor{#9400D3}1 \end{cases}

  • Les coefficients multiplicateurs de tt sont les coordonnées d’un vecteur directeur.
  • Ici (d)(d^{\prime}) admet comme vecteur directeur :

v(125)\vec v \begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF}1 \ \textcolor{#3CB371}2 \ \textcolor{#BDB76B}{-5} \end{pmatrix}

  • Les autres termes sont les coordonnées d’un point de (d)(d^{\prime}).
  • (d)(d^{\prime}) passe par C(3 ;0 ;1)C\, (\textcolor{#B22222}{-3}\ ;\, \textcolor{#FFA500}0\ ;\, \textcolor{#9400D3}1).

Observons les coordonnées de AB (125)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 5 \end{pmatrix} et de v(125)\vec v \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -5 \end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs sont opposés.

  • Nous en déduisons : (AB)(d)(AB) \parallel (d^{\prime}).

Pour savoir exactement si les deux droites sont confondues ou strictement parallèles, nous pouvons vérifier si AA ou BB appartient à (d)(d^{\prime}).
Nous utilisons la méthode vue précédemment avec, par exemple, les coordonnées de BB. Existe-t-il un réel tt tel que :

{2=t33=2t+04=5t+1{t=5t=325t=3{t=5t=32t=35\begin{aligned} \begin{cases} 2=t-3 \ 3=2t+0 \ 4=-5t+1 \end{cases}&\Leftrightarrow \begin{cases} t=5 \ t=\frac32 \ 5t=-3 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} t=5 \ t=\frac32 \ t=-\frac 35 \end{cases} \end{aligned}

Nous trouvons trois valeurs différentes pour tt. Ce système n’admet donc pas de solution.

  • En conclusion, (AB)(AB) et (d)(d^{\prime}) sont strictement parallèles.

Nous venons de voir comment représenter une droite de E\mathcal E par un système de trois équations.
Intéressons-nous maintenant à la manière de caractériser, à l’aide des coordonnées, l’appartenance à un plan.

Équation cartésienne d’un plan

En première, nous avons vu comment trouver l’équation cartésienne d’une droite en utilisant un vecteur normal de cette droite.
Un plan, lui, est déterminé par un point lui appartenant et un vecteur normal. Il va, de manière analogue, pouvoir être associé à une équation cartésienne, c’est-à-dire une équation où apparaissent les coordonnées (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) d’un point de E\mathcal E.

Équation cartésienne d’un plan

Soit (P)(P) un plan de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}, avec (a,b,c)(0,0,0)(a,\,b,\,c)\neq (0,\,0,\,0).

Img-03

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Propriété

  • (P)(P) de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} admet une équation du type ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, où dRd\in \mathbb R :
  • Réciproquement, si aa, bb, cc et dd sont quatre nombres réels et (a,b,c)(0,0,0)(a,\,b,\,c)\neq (0,\,0,\,0), alors une équation du type ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est l’équation d’un plan (P)(P) de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}.
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Démonstration

On considère un plan (P)(P) de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} passant par A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, z_A ).
Soit MM un point de E\mathcal E. On sait que :

M(P)AM n=0M\in(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM\ }\cdot \vec n=0

Utilisons les coordonnées (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) de MM. Celles de $\overrightarrow{AM\ }$ sont :

(xxAyyAzzA)\begin{pmatrix} x-xA \ y-yA \ z-z_A \end{pmatrix}

Avec l’expression du produit scalaire dans un repère orthonormé, nous avons donc :

M(x ;y ;z)(P)a(xxA)+b(yyA)+c(zzA)=0axaxA+bybyA+czczA=0 [en deˊveloppant]ax+by+cz(axA+byA+czA)=0ax+by+cz+d=0 [en posant d=(axA+byA+czA)]\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(P)&\Leftrightarrow a(x-xA )+b(y-yA )+c(z-zA)=0 \ &\Leftrightarrow ax-axA +by-byA +cz-czA=0 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en développant]}}} \ &\Leftrightarrow ax + by + cz - (axA + byA + cz_A)=0 \ &\Leftrightarrow ax + by + cz + d =0 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en posant $d= - (ax_A + by_A + cz_A) $]}}} \end{aligned}

Nous obtenons bien l’expression recherchée.

Au passage, nous avons démontré la propriété suivante.

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Propriété

Soit (P)(P) un plan de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} et passant par A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, zA ).
(P)(P) admet comme équation a(xxA)+b(yyA)+c(zzA)=0 a(x-x
A )+b(y-yA )+c(z-zA)=0.

  • Cette équation est appelée équation cartésienne du plan (P)(P)0
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À retenir

Soit (P)(P) un plan de vecteur normal n(abc)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} et passant par A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, z_A ).

M(x ;y ;z)(P)a(xxA)+b(yyA)+c(zzA)=0M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in (P) \Leftrightarrow a(x-xA )+b(y-yA )+c(z-z_A)=0

Prenons un exemple de plan dont nous allons trouver une équation cartésienne.

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Exemple

(P)(P) est le plan passant par A(3 ;5 ;1)A\, (3\ ;\, 5\ ;\, -1) et de vecteur normal n(125)\vec n\begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 5 \end{pmatrix}.

  • Nous voulons déterminer si B(0 ;6 ;1)(P)B\, (0\ ;\, -6\ ;\, 1) \in (P).

Img-04

  • Nous cherchons l’équation cartésienne du plan passant par A(3 ;5 ;1)A\, (3\ ;\, 5\ ;\, -1) et de vecteur normal :

n(125)\vec n\begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 5 \end{pmatrix}

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À retenir

Méthodologie :

Pour trouver une équation cartésienne du plan (P)(P) dont on connaît un vecteur normal n\vec n et au moins un point :

  • on écrit la forme de cette équation : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, en remplaçant (a ;b ;c)(a\ ;\, b\ ;\, c) par les coordonnées de n\vec n ;
  • on remplace (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) par les coordonnées d’un point du plan ;
  • on obtient une équation d’inconnue dd que l’on résout.
  • On a alors une équation cartésienne du plan.

Appliquons la propriété et la méthode vues ci-dessus.

  • (P)(P) admet une équation cartésienne de la forme : 1x2y+5z+d=0-1x-2y+5z+d=0, où dd est un nombre réel.

Pour déterminer la valeur de dd, nous utilisons le fait que A(P)A \in (P).
Ses coordonnées vérifient donc l’équation ci-dessus :

xA2yA+5zA+d=032×5+5×(1)+d=018+d=0d=18\begin{aligned} -xA-2yA+5z_A+d=0 &\Leftrightarrow -3-2\times5+5\times(-1)+d=0 \ &\Leftrightarrow-18+d=0 \ &\Leftrightarrow d=18 \end{aligned}

  • Ainsi, une équation cartésienne de (P)(P) est : x2y+5z+18=0-x-2y+5z+18=0.

Remarque :
Cette équation n’est pas la seule équation cartésienne de (P)(P) ; nous pouvons, en changeant de vecteur normal et de point sur (P)(P), en trouver d’autres.
Nous admettons qu’on peut obtenir une autre équation de (P)(P) en multipliant celle que nous avons trouvée par un nombre kk non nul.

  • Ainsi, l’équation : 2x+4y10z36=02x+4y-10z-36=0 est aussi une équation cartésienne de ce plan.
  • Nous voulons maintenant déterminer si le point B(0 ;6 ;1)B\, (0\ ;\, -6\ ;\, 1) appartient à (P)(P).

Nous remplaçons les coordonnées de BB dans le membre de gauche de l’équation et nous calculons :

xB2yB+5zB+18=02×(6)+5×1+18=12+5+18=350\begin{aligned} -xB-2yB+5z_B+18&=-0-2\times(-6)+5\times1+18 \ &=12+5+18 \ &=35 \ &\neq0 \end{aligned}

  • Nous en déduisons que B(P)B \notin (P).

Cas de plans particuliers

Cherchons l’équation des plans de vecteur normal ı(100)\vec \imath\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}.

Ces plans ont des équations cartésiennes de la forme :

1x+0y+0z+d=0Soit : x+d=0Ou encore : x=k, ouˋ kR\begin{aligned} 1x+0y+0z+d&=0 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} x+d&=0 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Ou encore\ :\ }} x&=k \text{, où } k\in \mathbb R \end{aligned}

  • Ainsi, si ce plan passe par l’origine O(0 ;0 ;0)O\, (0\ ;\, 0\ ;\, 0), alors une équation cartésienne sera : x=0x=0.
  • Si ce plan passe par A(3 ;5 ;4)A\, (3\ ;\, 5\ ;\, 4), alors une équation cartésienne sera x=3x=3.
  • Et cætera.

Img-05

De manière analogue, nous pouvons trouver les plans de vecteur normal ȷ(010)\vec \jmath\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} ou k(001)\vec k\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}.

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Propriété

  • Les plans de vecteur normal ı(100)\vec \imath\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} ont pour équation cartésienne :

x=k, ouˋ kRx=k \text{, où } k\in \mathbb R

  • Les plans de vecteur normal ȷ(010)\vec \jmath\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} ont pour équation cartésienne :

y=k, ouˋ kRy=k \text{, où } k\in \mathbb R

  • Les plans de vecteur normal k(001)\vec k \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} ont pour équation cartésienne :

z=k, ouˋ kRz=k \text{, où } k\in \mathbb R

Nous savons maintenant trouver une équation de plan connaissant un point lui appartenant et un vecteur normal, ainsi que la représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur.
Voyons à présent comment s’en servir pour chercher des intersections.

Intersection de droites et de plans

Commençons par l’intersection de deux droites.

Intersection de deux droites

Soit (d)(d) et (d)(d^{\prime}) de E\mathcal E définies par :

  • (d)(d) passe par AA et admet comme vecteur directeur u(abc)\vec u\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} ;
  • (d)(d^{\prime}) passe par BB et admet comme vecteur directeur v(abc)\vec v\begin{pmatrix} a^{\prime} \ b^{\prime} \ c^{\prime} \end{pmatrix}.
  • Nous cherchons leur position relative.
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Exemple

(d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont données par leurs représentations paramétriques :

(d):{x=k+2y=2k ouˋ kRz=k(d):{x=ky=k1 ouˋ kRz=2k7\begin{aligned} (d)\,:&\begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k & \text{ où } k\in\mathbb R \ z=k \end{cases} \ (d^{\prime})\,:&\begin{cases} x=k^{\prime} \ y=k^{\prime}-1 & \text{ où } k^{\prime}\in\mathbb R \ z=2k^{\prime}-7 \end{cases} \end{aligned}

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À retenir

Méthodologie :

  • Si u(abc)\vec u\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} et v(abc)\vec v\begin{pmatrix} a^{\prime} \ b^{\prime} \ c^{\prime} \end{pmatrix} sont colinéaires, on sait que (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont coplanaires et parallèles.
  • Nous chercherons leur point d’intersection pour savoir si elles sont confondues ou strictement parallèles.
  • Si u(abc)\vec u\begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} et v(abc)\vec v\begin{pmatrix} a^{\prime} \ b^{\prime} \ c^{\prime} \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires, nous chercherons le point d’intersection de (d)(d) et (d)(d^{\prime}).
  • S’il existe, alors les droites sont sécantes.
  • Sinon, les droites ne sont pas coplanaires.
  • Dans notre exemple :
  • (d)(d) admet u(121)\vec u\begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} pour vecteur directeur ;
  • (d)(d^{\prime}) admet v(112)\vec v\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} pour vecteur directeur.

u\vec u et v\vec v ne sont pas colinéaires.
En effet, leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

  • (d)(d) et (d)(d^{\prime}) ne sont donc pas parallèles.
  • Nous allons chercher leur éventuel point d’intersection.

M(x ;y ;z)(d)(d)M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) si et seulement si (x ;y ;z)(x\ ;\, y\ ;\, z) vérifient les deux représentations paramétriques.
Nous écrivons :

M(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kx=ky=k1z=2k7\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe kk et kk^{\prime} tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ x=k^{\prime} \ y=k^{\prime}-1 \ z=2k^{\prime}-7 \end{cases} \end{aligned}

Nous devons donc, sans nous affoler, résoudre ce système à 66 équations et 55 inconnues : xx, yy, zz, kk et kk^{\prime}.

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À retenir

Méthode :

  • Nous gardons les trois premières lignes pour garder les trois inconnues xx, yy et zz.
  • Nous travaillons sur les trois dernières en substituant xx, yy et zz par leurs valeurs en fonction du paramètre kk : ainsi, nous allons déterminer si kk et kk^{\prime} peuvent exister.

Pour plus de lisibilité, nous mettrons en violet les lignes sur lesquelles nous avons travaillé.

M(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kk+2=k2k=k1k=2k7M(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kk+2=k2k+1=kk+7=2kM(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kk+2=2k+1 [avec la ligne 5]2k+1=kk+7=2kM(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kk=12k+1=kk+7=2kM(x ;y ;z)(d)(d) il existe k et k tels que : {x=k+2y=2kz=kk=13=k [avec la ligne 4]6=2ksoit :k=3\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe kk et kk^{\prime} tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ \purple{-k+2=k^{\prime}} \ \purple{-2k=k^{\prime}-1} \ \purple{k=2k^{\prime}-7} \end{cases} \ M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe kk et kk^{\prime} tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ -k+2=k^{\prime} \ \purple{-2k+1=k^{\prime}} \ \purple{k+7=2k^{\prime}} \end{cases} \ M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe kk et $k^{\prime}$ tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ \purple{-k+2=-2k+1} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec la ligne 5]}}} \ -2k+1=k^{\prime} \ k+7=2k^{\prime} \end{cases}\ M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe $k$ et $k^{\prime}$ tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ \purple{k=-1} \ -2k+1=k^{\prime} \ k+7=2k^{\prime} \end{cases} \ M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in(d)\cap(d^{\prime}) \Leftrightarrow &\ \text{il existe $k$ et $k^{\prime}$ tels que\ :} \ &\ \begin{cases} x=-k+2 \ y=-2k \ z=k \ k=-1 \ \purple{3=k^{\prime}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [