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Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace

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L’objectif de cette section est de montrer comment la donnée d’un repère, qu’on supposera orthonormé, permet d’établir un lien entre la géométrie de l’espace et les calculs algébriques dans R3\mathbb R^3. L’objectif majeur est une bonne maîtrise des représentations paramétriques de droites et des équations de plans.

Contenus

  • Représentation paramétrique d’une droite.
  • Équation cartésienne d’un plan.

Capacités attendues

  • Déterminer une représentation paramétrique d’une droite. Reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique.
  • Déterminer l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point. Reconnaître un plan donné par une équation cartésienne et préciser un vecteur normal à ce plan.
  • Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan donné par une équation cartésienne, ou sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur.
  • Dans un cadre géométrique repéré, traduire par un système d’équations linéaires des problèmes de types suivants : décider si trois vecteurs forment une base, déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base, étudier une configuration dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité, intersection et orthogonalité de droites ou de plans), etc. Dans des cas simples, résoudre le système obtenu et interpréter géométriquement les solutions.

Démonstration

  • Équation cartésienne du plan normal au vecteur n\vec n et passant par le point AA.