Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace

• Nous travaillerons dans l’espace noté $\mathcal E$, muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.

Représentation paramétrique d’une droite

• Soit $(d)$ la droite de $\mathcal E$ passant par $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A )$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$.
• On appelle représentation paramétrique de $(d)$ le système d’équations :

$$\begin{cases} x=k\alpha+ x_A \\ y=k\beta + y_A & \text{où }k\in \mathbb R \\ z=k\gamma+ z_A \end{cases}$$

• $k$ est appelé le paramètre de cette représentation.
• Nous avons la propriété :

$$\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z) \in (d) \Leftrightarrow&\ \text{il existe $k\in \mathbb R$ tel que\ :} \\ &\ \begin{cases} x=k\alpha+ x_A \\ y=k\beta + y_A \\ z=k\gamma+ z_A \end{cases} \end{aligned}$$

• Méthodologie pour savoir si un point $M\, (x\ ;\, y\ ;\, z)$ appartient à la droite $(d)$ dont on connaît une représentation paramétrique :
• on remplace $(x\ ;\, y\ ;\, z)$ dans le système par les coordonnées de $M$ ;
• on obtient alors trois équations d’inconnue $k$ ;
• on résout ces équations.
• Si on trouve une solution, c’est-à-dire une seule valeur pour $k$ dans les trois équations, alors $M\in (d)$.
• Sinon, $M \notin (d)$.
• Méthodologie pour identifier une droite donnée par une représentation paramétrique : nous devons identifier dans le système d’équations :
• les coordonnées d’un vecteur directeur ;
• les coordonnées d’un point de cette droite.

Équation cartésienne d’un plan

• $(P)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ admet une équation du type $ax+by+cz+d=0$, où $d\in \mathbb R$.
• Réciproquement, si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels et $(a,\,b,\,c)\neq (0,\,0,\,0)$, alors une équation du type $ax+by+cz+d=0$ est l’équation d’un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.
• Soit $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et passant par $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A )$.
• $(P)$ admet comme équation $ a(x-x_A )+b(y-y_A )+c(z-z_A)=0$.
• Cette équation est appelée équation cartésienne du plan $(P)$.
• Nous avons la propriété :

$$M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in (P) \Leftrightarrow a(x-x_A )+b(y-y_A )+c(z-z_A)=0$$

• Méthodologie pour trouver une équation cartésienne du plan $(P)$ dont on connaît un vecteur normal $\vec n$ et au moins un point :
• on écrit la forme de cette équation : $ax+by+cz+d=0$, en remplaçant $(a\ ;\, b\ ;\, c)$ par les coordonnées de $\vec n$ ;
• on remplace $(x\ ;\, y\ ;\, z)$ par les coordonnées d’un point du plan ;
• on obtient une équation d’inconnue $d$ que l’on résout.
• On a alors une équation cartésienne du plan.
• Plans particuliers :

Intersection de droites et de plans

• Soit $(d)$ et $(d^\prime)$ deux droites dont on connaît les représentations paramétriques, et $(P)$ un plan dont est connue une équation cartésienne :

$$\begin{aligned} (d)&:\begin{cases} x=ak+x_1 \\ y=bk + y_1 & \text{ où } k\in\mathbb R \\ z=ck+z_1 \end{cases} \\ (d^{\prime})&:\begin{cases} x=a^\prime k^{\prime}+x_2 \\ y=b^\prime k^{\prime}+y_2 & \text{ où } k^{\prime}\in\mathbb R \\ z=c^\prime k^{\prime}+z_2 \end{cases} \\ (P)&:\ a^{\prime\prime}x+b^{\prime\prime}y+c^{\prime\prime}z+d =0 \end{aligned}$$

• Méthodologie pour déterminer la position relative de $(d)$ et $(d^{\prime})$ :
• On détermine les coordonnées des vecteurs directeurs $\vec u$ de $(d)$ et $\vec v$ de $(d^\prime)$ :

$$\vec u\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad \vec v\begin{pmatrix} a^{\prime} \\ b^{\prime} \\ c^{\prime} \end{pmatrix}$$

• S’ils sont colinéaires, alors $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coplanaires et parallèles. On cherche leur éventuel point d’intersection, pour savoir si elles sont confondues ou strictement parallèles.
• S’ils ne sont pas colinéaires, on cherche le point d’intersection éventuel de $(d)$ et $(d^{\prime})$ :
• s’il existe, alors les droites sont sécantes ;
• sinon, elles ne sont pas coplanaires.
• Pour chercher l’éventuel point d’intersection, on utilise les représentations paramétriques des deux droites pour obtenir un système de $6$ équations à $5$ inconnues (en rouge ci-dessous) :

$$\begin{cases} \red x=a\red k+x_1 \\ \red y= b\red k + y_1 \\ \red z=c\red k+z_1 \\ \red x=a^\prime \red {k^{\prime}}+x_2 \\ \red y=b^\prime \red{k^{\prime}}+y_2 \\ \red z=c^\prime \red{k^{\prime}}+z_2 \end{cases}$$

• Pour résoudre ce système :
• on garde par exemple les trois premières lignes pour conserver les trois inconnues $x$, $y$ et $z$ ;
• on travaille sur les trois dernières lignes e substituant $x$, $y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction du paramètre $k$.
• Ainsi, on détermine si $k$ et $k^{\prime}$ peuvent exister.
• S’il n’y pas de solutions pour $k$ et $k^{\prime}$, alors il n’y a pas de solution au système et les droites sont non coplanaires.
• Méthodologie pour déterminer la position relative de $(d)$ et $(P)$ :
• On détermine les coordonnées du vecteur directeur $\vec u$ de $(d)$ et du vecteur normal $\vec n$ de $(P)$ :

$$\vec u\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad \vec n\begin{pmatrix} a^{\prime\prime} \\ b^{\prime\prime} \\ c^{\prime\prime} \end{pmatrix}$$

• On calcule leur produit scalaire pour savoir s’ils sont orthogonaux.
• S’ils sont orthogonaux, alors $(d)$ et $(P)$ sont parallèles.
• S’ils ne sont pas orthogonaux, $(d)$ et $(P)$ sont sécants.
• Pour trouver leur point d’intersection, on utilise la représentation paramétrique de $(d)$ et l’équation cartésienne de $(P)$ pour obtenir un système de $4$ équations à $4$ inconnues (en rouge ci-dessous) :

$$\begin{cases} \red x=a\red k+x_1 \\ \red y=b\red k + y_1 \\ \red z=c\red k+z_1 \\ a^{\prime\prime}\red x+b^{\prime\prime}\red y+c^{\prime\prime}\red z+d =0 \end{cases}$$

• Pour résoudre ce système :
• on remplace $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $k$ dans la dernière équation ;
• on obtient ainsi une équation d’inconnue $k$, que l’on résout ;
• une fois cette équation résolue, on peut calculer $x$, $y$ et $z$ puisque l’on connaît la valeur de $k$.