Exercices Sommes de variables aléatoires

Une région possède des terrains sportifs qu’elle loue tous les jours de la semaine.
La location d’un terrain dure une heure. Les créneaux horaires de réservation sont classés suivant la demande, « rouges » s’ils sont très demandés, et « verts » le reste du temps.
$75\,\%$ des créneaux horaires de réservation sont classés verts.

Une étude statistique sur plusieurs semaines montre qu’en horaire vert $20\,\%$ des terrains sont occupés. En horaire rouge, ils sont $80\,\%$.

Question 1

On choisit un terrain au hasard sur le planning hebdomadaire des réservations.
On note $O$ l’événement : « Le terrain est occupé », et $V$ : « L’horaire est vert ».

• Modéliser la situation par un arbre de probabilité pondéré.
• Calculer la probabilité $P(O\cap V)$.
• Montrer que $P(O)$, la probabilité que le terrain soit occupé, est égale à $0,35$.

Question 2

À l’hôtel de région, Olympe gère la location de ces terrains. Elle s’intéresse à leur occupation et au bénéfice généré.

La première semaine, pour mener son enquête, elle étudie l’occupation de $10$ terrains sélectionnés au hasard. Les terrains de la région sont assez nombreux pour considérer ce choix comme un tirage avec remise.

• On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de terrains occupés.
  Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
• Calculer l’espérance et l’écart-type de $X$.
  Quelle interprétation donner à ces deux valeurs ?

Question 3

Olympe poursuit son enquête de la même manière pendant $k$ semaines.
Elle obtient donc un échantillon de $k$ variables aléatoires $X_i$ indépendantes et suivant la même loi de probabilité que $X$.

• Déterminer l’espérance de :

$$\dfrac{X_1+X_2+…+X_{k-1}+X_k}k$$

• On rappelle que l’écart-type de la moyenne d’un échantillon de $k$ variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que $X$ est :

$$\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt k}$$

Pendant combien de semaines Olympe devra-t-elle mener son étude pour que cet écart-type soit inférieur ou égal à $0,5$ ?

Question 4

La location horaire d’un terrain en horaire rouge est de $15$ €.
Dans le but d’inciter les associations à louer les terrains sur les horaires verts, Olympe en propose un tarif réduit de $x$ €, avec $x\in\ ]0\ ;\, 15[$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne la recette horaire, en euros, générée par un terrain choisi au hasard.

• Quelles sont les valeurs prises par la variable $Y$ ?
  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de $Y$ :

• Prouver que $E(Y)=0,15x+3$.

On admet pour la suite de l’exercice que :

$$V(Y)=0,1275x^2-0,9x+36$$

• Estimer la valeur $x_{\text{min}}$ de $x$ pour laquelle cette variance est minimale.
  On pourra s’aider de la calculatrice et de la représentation graphique, et on donnera une valeur approchée à $0,1$ près.

Question 5

$100$ terrains sportifs, mis en location $40$ heures par semaine, engendrent des coûts fixes de l’ordre de $2\,500$ €.

• On note $Z$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice hebdomadaire généré par $100$ terrains en location.
  Justifier que $Z=4\,000 Y-2\,500$.
• Exprimer $E(Z)$ en fonction de $x$.
  Déterminer le bénéfice moyen hebdomadaire généré par la location de $100$ terrains lorsque $x=x_\text{min}$.