Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

Contenus

• Modèle de la succession d’épreuves indépendantes : la probabilité d’une issue $(x$1,\ …,\ xn) est égale au produit des probabilités des composantes $x_i$. Représentation par un produit cartésien, par un arbre.
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
• Schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes.
• Loi binomiale $\mathscr B (n,\ p)$ : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux.

Capacités attendues

• Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques. Représenter la situation par un arbre. Calculer une probabilité en utilisant l’indépendance, des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales.
• Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
• Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d’optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès.
• Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale $X$, calculer numériquement une probabilité du type $P(X=k)$, $P(X\leq k)$, $P(k\leq X\leq k^\prime)$, en s’aidant au besoin d’un algorithme ; chercher un intervalle $I$ pour lequel la probabilité $P(X\in I)$ est inférieure à une valeur donnée $\alpha$, ou supérieure à $1-\alpha$.

Démonstration

• Expression de la probabilité de 𝑘 succès dans le schéma de Bernoulli.