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Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

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Introduction :

En classe de première, nous avons vu la notion de variable aléatoire réelle, ainsi que la loi d’une variable aléatoire réelle. Dans ce cours, nous allons voir deux nouvelles lois de probabilité, à savoir la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d’étude : on s’en sert pour modéliser des situations simples de succès ou d’échec, un jeu de pile ou face, par exemple. Elle est également utilisée dans des tests statistiques qui permettent d’interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant du hasard.

Dans la première partie de ce cours, nous rappellerons quelques notions vues en classe de première, notamment la formule des probabilités totales, la notion d’indépendance et le conditionnement. Ensuite, nous verrons comment définir, à partir d’une épreuve de Bernoulli, la loi de Bernoulli et la loi binomiale.

  • Dans tout le chapitre, Ω\Omega désigne l’univers associé à une expérience aléatoire et pp une probabilité sur Ω\Omega.

Succession d’épreuves indépendantes

Dans cette partie, nous rappellerons quelques notions de première sur les probabilités.

Formule des probabilités totales

Intuitivement, il s’agit de considérer toutes les issues d’une expérience aléatoire et d’en faire des groupes de telle sorte qu’aucun groupe ne contienne une même issue.

  • Nous parlons alors de partition de l’univers.
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Définition

Partition de l’univers :

Soit A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\, A_n nn événements de Ω\Omega, avec nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.
On dit que ces événements forment une partition de l’univers Ω\Omega (ou un système complet d’événements) si les 33 conditions suivantes sont vérifiées :

  • aucun des AiA_i n’est de probabilité nulle pour ii allant de 11 à nn ;
  • les AiAi sont 22 à 22 disjoints : AiAj=Ai\cap A_j=\varnothing pour iji\neq j, avec ii et jj compris entre 11 et nn ;
  • la réunion des AiA_i est égale à l’univers Ω\Omega :

A1A2An=ΩA1\cup A2\cup …\cup A_n=\Omega

Pour mieux nous représenter cette notion, illustrons la partition de Ω\Omega pour n=6n=6.

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Exemple

  • Dans une urne contenant des boules jaunes, noires et rouges, on tire une boule.

Soit A1A1 : « La boule tirée est jaune », A2A2 : « La boule tirée est noire », et A3A_3 : « La boule tirée est rouge ».

  • Alors A1A1, A2A2 et A3A_3 forment une partition de l’univers.
  • Un événement AA et son contraire Aˉ\bar A, de probabilités non nulles, forment toujours une partition de l’univers Ω\Omega.

Nous pouvons maintenant rappeler la formule des probabilités totales.

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Théorème

Soit A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\,A_n une partition de l’univers Ω\Omega et BB un événement quelconque de Ω\Omega.
Alors la probabilité de BB est donnée par la formule :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)++p(AnB)p(B)=p(A1\cap B)+p(A2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)

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Démonstration

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Comme les événements A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\,An forment une partition de l’univers Ω\Omega, alors ils sont 22 à 22 incompatibles. Donc les événements A1B,A2B,,AnBA1\cap B,\,A2\cap B,\,…,\,An\cap B sont également deux à deux incompatibles et leur réunion est :

(A1B)(A2B)(AnB)=B(A1\cap B)\cup (A2\cap B)\cup…\cup(A_n\cap B)=B

  • Nous avons donc bien :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)++p(AnB)p(B)=p(A1\cap B)+p(A2\cap B)+ … +p(A_n\cap B)

Probabilités conditionnelles

Nous allons, à présent, rappeler la notion de conditionnement et de probabilité conditionnelle.

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Définition

Probabilité conditionnelle :

Soit AA et BB deux événements de l’univers Ω\Omega. Supposons non nulle la probabilité de AA.
On appelle probabilité conditionnelle de BB sachant AA le nombre, noté pA(B)p_A (B), défini par :

pA(B)=p(AB)p(A)p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

Nous pouvons faire quelques remarques :

  • pA(B)p_A (B) est la probabilité que l’événement BB se réalise sachant que l’événement AA s’est réalisé ;
  • pA(B)pB(A)pA (B)\neq pB (A) ;
  • une probabilité conditionnelle a les mêmes propriétés qu’une probabilité ;
  • on déduit de la définition que :

p(AB)=pA(B)×p(A) [avec p(A)0]p(A\cap B)=p_A (B)\times p(A)\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $p(A)\neq0$]}}}

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À retenir

Comme on a : p(AB)=pA(B)×p(A)p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A), alors la formule des probabilités totales peut aussi s’écrire sous la forme :

p(B)=pA1(B)×p(A1)+pA2(B)×p(A2)++pAn(B)×p(An)p(B)=p{A1} (B)\times p(A1)+p{A2} (B)\times p(A2)+⋯+p{An} (B)\times p(A_n)

Voyons maintenant ce que devient cette formule lorsque l’événement AA ne dépend pas de l’événement BB, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de conditionnement.

Indépendance de deux événements

Intuitivement, l’on comprend que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la réalisation de l’autre.

  • Donc, si AA et BB sont indépendants, la probabilité conditionnelle pA(B)p_A (B) (de BB sachant AA) est la même que la probabilité p(B)p(B) (de BB).

On a ainsi la définition suivante.

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Définition

Indépendance de deux événements :

Soit AA et BB deux événements associés à une expérience aléatoire.
On dit que les événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :

p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B)

Prenons un exemple simple.

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Exemple

Dans un lancer de dé non truqué à 66 faces, l’événement AA : « Obtenir un nombre pair », et l’événement BB : « Obtenir un multiple de 33 », sont indépendants.
En effet, nous avons :

p(A)=36=12p(B)=26=13et : p(AB)=16D’ouˋ : p(AB)=p(A)×p(B)\begin{aligned} p(A)&=\dfrac 36=\dfrac 12 \ p(B)&=\dfrac 26=\dfrac 13 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} p(A\cap B)&=\dfrac 16 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \end{aligned}

  • AA et BB sont indépendants.
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Attention

Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
Quand deux événements AA et BB ne peuvent se réaliser tous les deux pendant la même expérience, on dit qu’ils sont incompatibles.

  • Dans ce cas, AB=A\cap B=\varnothing et donc p(AB)=0p(A\cap B)=0.
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Propriété

Si AA et BB sont deux événements indépendants d’un univers Ω\Omega, alors l’événement contraire de AA, noté Aˉ\bar A, et BB sont également indépendants.

Donnons une petite représentation, afin de mieux comprendre la démonstration qui va suivre.

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Démonstration

On a : B=(AB)(AˉB)B=(A\cap B)\cup(\bar A\cap B) et (AB)(AˉB)=(A\cap B)\cap(\bar A\cap B)=\varnothing.

  • Donc p(B)=p(AB)+p(AˉB)p(B)=p(A\cap B)+p(\bar A\cap B).

Comme AA et BB sont indépendants, on a : p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B).
Nous obtenons ainsi :

p(B)=p(AB)+p(AˉB)=p(A)×p(B)+p(AˉB)Donc : p(AˉB)=p(B)p(A)×p(B)=p(B)(1p(A))=p(B)×p(Aˉ) [car p(Aˉ)=1p(A)]\begin{aligned} p(B)&=p(A\cap B)+p(\bar A\cap B) \ &= p(A)\times p(B)+ p(\bar A\cap B) \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} p(\bar A\cap B)&= p(B)- p(A)\times p(B) \ &=p(B)\big(1-p(A)\big) \ &=p(B)\times p(\bar A) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $p(\bar A)=1-p(A)$]}}} \end{aligned}

  • Aˉ\bar A et BB sont donc indépendants.

Passons maintenant à la notion d’épreuves indépendantes, qui est fondée sur celle d’événements indépendants.

Indépendance de deux épreuves successives

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Définition

Indépendance de 22 épreuves :

Considérons 22 expériences aléatoires réalisées successivement.
On dit que l’on réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.

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Exemple

  • Épreuve 11 : on lance un dé non truqué (équiprobabilité) à 66 faces et on note le numéro obtenu.
  • Épreuve 22 : on tire une boule au toucher dans une urne contenant 22 boules rouges et 33 boules noires, indiscernables, et on note la couleur de la boule tirée.
  • Ces deux épreuves sont indépendantes, car le résultat de l’une n’a clairement aucune influence sur le résultat de l’autre.
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À retenir

La définition nous dit que :

  • si l’on considère deux expériences aléatoires indépendantes dont les univers associés sont Ω1\Omega1 et Ω2\Omega2,
  • et si l’on choisit deux événements quelconques AA et BB de ces univers respectivement,
  • alors les événements AA et BB sont indépendants, c’est-à-dire qu’on a :

p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B)

Reprenons le petit exemple précédent.

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Exemple

Considérons l’événement AA « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 33 » et BB l’événement « Tirer une boule noire ». AA et BB sont deux événements de l’épreuve 11 et 22 respectivement.

  • Comme les 22 épreuves sont indépendantes, on a :

p(AB)=p(B)×p(A)=35×23=25\begin{aligned} p(A\cap B)&=p(B)\times p(A) \ &=\dfrac 35\times \dfrac 23 \ &=\dfrac 25 \end{aligned}

Il s’agit tout simplement de la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 33 à l’épreuve 11 et une boule noire à l’épreuve 2.

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Attention

Si AA et BB ne sont pas indépendants, alors la formule p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B) n’est pas vraie. Dans ce cas, on utilise plutôt la formule qui découle du conditionnement à savoir : p(AB)=pA(B)×p(A)p(A\cap B)=p_A (B)\times p(A).

Si les épreuves ne sont pas indépendantes, on peut s’aider d’un arbre pondéré pour calculer les probabilités.
Aussi, avec un arbre pondéré (à 22 niveaux), on comprend mieux la formule des probabilités totales.

  • Elle est donnée par la règle suivante : la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.
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Exemple

Considérons l’arbre pondéré suivant où AA et Aˉ\bar A sont de probabilités non nulles.

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On rappelle qu’un événement AA et son contraire Aˉ\bar A, de probabilités non nulles, forment une partition de l’univers Ω\Omega.
Sur cet arbre, en utilisant les règles de l’addition et de la multiplication, on obtient bien la formule des probabilités totales :

p(B)=p(AB)+p(AˉB)=pA(B)×p(A)+pAˉ(B)×p(Aˉ)\begin{aligned} p(B)&=p(A\cap B)+p(\bar A\cap B) \ &=pA (B)\times p(A)+p{\bar A} (B)\times p(\bar A) \end{aligned}

Remarquons que l’arbre précédent nous a donné :

p(AB)=pA(B)×p(A)Donc : pA(B)=p(AB)p(A)\begin{aligned} p(A\cap B)&=pA (B)\times p(A) \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} pA (B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \end{aligned}

  • On retrouve ainsi la formule de probabilité conditionnelle.

Nous allons maintenant généraliser, en passant à la notion d’indépendance de nn épreuves aléatoires successives.

Indépendance de nn épreuves successives

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Définition

Indépendance de nn épreuves successives :

On dit que nn épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont 22 à 22 indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).

Nous en tirons la propriété suivante.

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Propriété

Considérons une succession de nn épreuves indépendantes dont les univers sont Ω1,Ω2,,Ωn\Omega1,\,\Omega2,\,…,\,\Omegan.
Pour tous événements A1,A2,,AnA
1,\,A2,\,…,\,An de ces univers respectivement, on a :

p(A1A2An)=p(A1)×p(A2)××p(An)p(A1\cap A2\cap …\cap An)=p(A1)\times p(A2)\times …\times p(An)

Après avoir redécouvert ces notions de probabilité vues en première, et essentielles pour la suite de notre chapitre (et pour bien d’autres, d’ailleurs), nous allons maintenant étudier deux nouvelles lois de probabilité : la loi de Bernoulli et la loi binomiale.

Épreuve et loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Commençons par définir ce type d’expérience aléatoire.

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Définition

Épreuve de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès (SS) et échec (EE).

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À retenir

Si on note pp la probabilité d’obtenir SS, alors, comme SS et EE sont deux événements complémentaires (E=SˉE=\bar S), la probabilité d’obtenir EE est donc 1p1-p.

Voici l’arbre correspondant à une épreuve de Bernoulli :

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Prenons quelques exemples.

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Exemple

  • L’expérience qui consiste à lancer une pièce de monnaie et à regarder si la face pile est obtenue est une épreuve de Bernoulli. En effet, on n’a que deux issues : soit pile (succès), soit face (échec).
  • Si la pièce n’est pas truquée, la probabilité pp d’obtenir un succès est égale à 12\frac 12.
  • L’expérience qui consiste à tirer une carte au hasard dans un jeu de 3232 cartes et à regarder si c’est un as est aussi une épreuve de Bernoulli : les issues possibles sont tirer un as (succès) et toute autre carte (échec).
  • Si le jeu de cartes n’est pas truqué, la probabilité pp d’obtenir un succès est égale à 432=18\frac 4{32}=\frac 18.

Loi de Bernoulli

Dans le cas d’une épreuve de Bernoulli, nous pouvons définir une variable aléatoire XX.
Par convention, nous choisissons d’associer 11 à toute issue correspondant à un succès et 00 à toute issue correspondant à un échec.

  • Ainsi, si Ω\Omega est l’univers de l’épreuve de Bernoulli considérée :

X(Ω)={0,1}X(\Omega)=\lbrace 0,\,1\rbrace

Et nous pouvons donner sa loi de probabilité, appelée loi de Bernoulli.

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Définition

Loi de Bernoulli :

On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité pp d’obtenir un succès.
Soit XX la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs :

  • la valeur 11 si l’issue est un succès ;
  • la valeur 00 si l’issue est un échec.

Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire XX est appelée loi de Bernoulli de paramètre pp.

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À retenir

Elle est donnée par le tableau suivant :

xixi 11 00
p(X=xi)p(X=xi) pp 1p1-p

En première, nous avions découvert les indicateurs d’une variable aléatoire : l’espérance et la variance.

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Propriété

Si XX est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre pp, alors :

  • l’espérance mathématique de XX vaut :

E(X)=pE(X)=p

  • la variance de XX vaut :

V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)

Nous pouvons le démontrer facilement, grâce aux définitions que nous connaissons.

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Démonstration

  • Par définition, l’espérance de XX est :

E(X)=1×p(X=1)+0×p(X=0)=1×p+0×(1p)=p\begin{aligned} E(X)&=1\times p(X=1)+0\times p(X=0) \ &=1\times p+0\times (1-p)\ &=p \end{aligned}

  • Par définition de la variance, on a :

V(X)=p(X=1)×(1E(X))2+p(X=0)×(0E(X))2=p×(1p)2+(1p)×(0p)2 [car E(X)=p]=(1p)×(p(1p)+p2) [en factorisant par (1p)]=(1p)×(pp2+p2)=(1p)×p\begin{aligned} V(X)&=p(X=1)\times \big(1-E(X)\big)^2+p(X=0)\times \big(0-E(X)\big)^2 \ &=p\times (1-p)^2+(1-p)\times (0-p)^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $E(X)=p$]}}} \ &=(1-p)\times \big(p(1-p)+p^2\big) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $(1-p)$]}}} \ &=(1-p)\times (p-p^2+p^2) \ &=(1-p)\times p \end{aligned}

Nous allons maintenant voir ce qui se passe si l’on répète une épreuve de Bernoulli plusieurs fois de suite.

Schéma de Bernoulli

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Définition

Schéma de Bernoulli :

On appelle schéma de Bernoulli la répétition de nn épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

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Attention

Les conditions identiques et indépendantes sont fondamentales pour être dans le cas d’un schéma de Bernoulli. Elles doivent donc être toujours vérifiées dans chaque situation.
Pour cela, nous vérifions :

  • si les issues des épreuves sont les mêmes ;
  • et si ces issues ont les mêmes probabilités d’une épreuve à l’autre.

On peut représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré, mais qui devient compliqué à tracer pour nn assez grand.
Donnons celui correspondant à un schéma de Bernoulli pour n=3n=3 (épreuve de Bernoulli répétée 33 fois) :

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Exemple

Dans une urne contenant 55 boules blanches et 33 boules vertes, indiscernables au toucher, on tire une boule au hasard.
On regarde si elle est verte, on a alors un succès, et on la remet.
On effectue au total 33 tirages.

  • Nous voyons bien ici que les issues sont les mêmes : « La boule tirée est verte » et « La boule tirée est blanche ».
  • Et, comme, il y a remise après tirage, les probabilités sont identiques pour chaque expérience.
  • La répétition de cette expérience 33 fois de suite est un schéma de Bernoulli, avec les paramètres n=3n=3 et p=38p=\frac 38.

pp est la probabilité d’obtenir un succès : « La boule tirée est verte ». La probabilité d’obtenir un échec : « La boule tirée est blanche », est alors égale à 1p1-p.

Ce schéma de Bernoulli est représenté par l’arbre pondéré suivant, dans lequel VV est l’événement « La boule tirée est verte » (succès) et BB « La boule tirée est blanche » (échec).

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Attention

Dans l’exemple que nous venons de voir, nous l’avons sous-entendu, mais insistons tout de même : s’il n’y avait pas eu remise après tirage, alors les probabilités n’auraient pas été identiques d’un tirage à l’autre.
En effet, si par exemple on tire au premier tirage une boule verte et qu’on ne la remet pas, alors la probabilité lors du deuxième tirage d’obtenir une boule verte sera moindre, tandis que celle d’obtenir une boule blanche sera plus grande.

  • Nous n’aurions alors pas été dans le cas d’une épreuve de Bernoulli.

Loi binomiale

Nous venons donc de définir ce qu’était un schéma de Bernoulli. Nous allons maintenant nous intéresser à ce qui nous importe vraiment ici, c’est-à-dire à la probabilité d’avoir kk succès dans un schéma de Bernoulli composé de nn épreuves (avec donc nn et kk des entiers naturels tels que knk\leq n).

Définition

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Définition

Loi binomiale :

Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de nn épreuves d’un schéma de Bernoulli, et pp la probabilité de succès à chaque épreuve.
Alors la variable aléatoire XX suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres nn et pp, et notée généralement B(n,p)\mathcal B(n,\, p).

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À retenir

Pour prouver qu’une variable aléatoire XX suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :

  • il faut avoir nn expériences identiques ;
  • chaque expérience a 22 issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
  • ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
  • la variable aléatoire XX compte le nombre de succès obtenus lors des nn épreuves.

Reprenons notre dernier exemple pour bien comprendre cette loi binomiale.

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Exemple

On considère la variable aléatoire XX, qui donne le nombre de boules vertes obtenues après 33 tirages.
Toutes les conditions données plus haut sont vérifiées.

  • XX suit une loi binomiale B(3,38)\mathcal B\left(3,\, \frac 38\right).

Avec l’arbre précédent, on peut expliciter cette loi binomiale B(3,38)\mathcal B\left(3,\, \frac 38\right).

  • D’abord, les valeurs possibles prises par XX sont : 00, 11, 22 et 33 (valeurs correspondant au nombre de succès possibles lors des 33 tirages avec remise).
  • Ensuite, pour calculer, par exemple, la probabilité d’avoir 22 fois un succès, on s’intéresse aux chemins contenant exactement 22 fois l’événement VV.
  • Il y a 33 chemins qui correspondent à 22 succès, à savoir (B,V,V)(B,\,V,\,V), (V,B,V)(V,\,B,\,V) et (V,V,B)(V,\,V,\,B). Donc :

p(X=2)=(58×38×38)+(38×58×38)+(38×38×58)=45512+45512+45512=3×45512=135512\begin{aligned} p(X=2)&= \left( \dfrac 58\times \dfrac 38\times \dfrac 38\right)+\left(\dfrac 38\times \dfrac 58\times \dfrac 38\right)+\left(\dfrac 38\times \dfrac 38\times \dfrac 58\right) \ &=\dfrac{45}{512}+\dfrac{45}{512}+\dfrac {45}{512} \ &=3\times \dfrac{45}{512} \ &=\dfrac{135}{512} \end{aligned}

De même, on pourra calculer p(X=0)p(X=0), p(X=1)p(X=1) et p(X=3)p(X=3).

Coefficient binomial

Nous avons découvert le coefficient binomial dans le cours sur le nombre de combinaisons de kk éléments dans un ensemble à nn éléments (nn et kk des entiers naturels tels que knk\leq n).
Dans ce même cours, nous avions aussi pris un exemple pour montrer que le nombre de chemins menant à un événement considéré comme un succès est donné par le coefficient binomial.

  • Nous allons ici rappeler certaines propriétés et préciser la notion dans notre contexte.
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Définition

Coefficient binomial :

Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. Soit kk un entier naturel tel que 0kn0\leq k\leq n.
On appelle coefficient binomial, noté (nk)\binom nk, le nombre de chemins correspondant à kk succès.

  • La notation (nk)\binom nk se lit « k parmi n ».

Considérons l’arbre pondéré suivant correspondant au schéma de Bernoulli pour n=3n=3, avec pp la probabilité d’obtenir un succès (SS) et 1p1-p la probabilité d’obtenir un échec (EE).

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Nous cherchons à savoir combien de chemins mènent à 22 succès. Autrement dit, le nombre de combinaisons de 22 parmi 33.

  • Ces chemins sont : (S,S,E)(S,\,S,\,E), (S,E,S)(S,\,E,\,S) et (E,S,S)(E,\,S,\,S). On a donc :

(32)=3\binom 32=3

De même, on a :

(30)=1\displaystyle \binom 30=1 Il y a 11 seul chemin contenant 00 succès (E,E,E)(E,\,E,\,E)
(31)=3\displaystyle \binom 31=3 Il y a 33 chemins contenant 11 succès (S,E,E)(E,S,E)(E,E,S)\begin{aligned} (S,\,E,\,E) \ (E,\,S,\,E) \ (E,\,E,\,S) \end{aligned}
(33)=1\displaystyle \binom 33=1 Il y a 11 seul chemin contenant 33 succès (S,S,S)(S,\,S,\,S)

Nous remarquons les égalités suivantes :

(30)=(33)=1(31)=(32)=3\begin{aligned} \binom 30&=\binom 33=1 \ \binom 31&=\binom 32=3 \end{aligned}

Nous retrouvons les propriétés suivantes.

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Propriété

Soit nn un entier naturel.
Nous avons :

(n0)=(nn)=1(nk)=(nnk) [ouˋ 0kn]\begin{aligned} \binom n0&=\binom nn=1 \ \binom n k&=\binom n {n-k} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [où $0\leq k\leq n$]}}} \end{aligned}

Nous pouvons aussi donner la formule de Pascal, que nous avons démontrée dans le cours sur la combinatoire.

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Propriété

Si n2n\geq 2 et 1kn11\leq k\leq n-1, nous avons :

(nk)=(n1k)+(n1k1)\binom nk =\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1}

Avec ces formules, on peut calculer de proche en proche les coefficients binomiaux.

  • Pour cela, nous pouvons nous servir du triangle de Pascal, que nous redonnons jusqu’à n=9n=9 :

nk^{k\,\rightarrow}_{n\,\downarrow} 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99
00 11
11 11 11
22 11 22 11
33 11 33 33 11
44 11 44 66 44 11
55 11 55 1010 1010 55 11
66 11 66 1515 2020 1515 66 11
77 11 77 2121 3535 3535 2121 77 11
88 11 88 2828 5656 7070 5656 2828 88 11
99 11 99 3636 8484 126126 126126 8484 3636 99 11
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Astuce

On peut aussi calculer ces coefficients binomiaux avec une calculatrice.

Probabilités pour une loi binomiale

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Théorème

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p)\mathcal B(n,\, p).
Pour tout entier naturel kk (avec 0kn)0\leq k\leq n), la probabilité d’obtenir kk succès sur les nn épreuves est donnée par la formule :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}

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Démonstration

Considérons l’arbre correspondant à la loi binomiale B(n,p)\mathcal B(n,\,p).
Si un chemin contient kk succès, alors il contient nkn-k échecs.

  • Donc la probabilité de réaliser ce chemin est :

p××pk fois×(1p)×(1p)nk fois=pk×(1p)nk\underbrace{p \times …\times p}{k \text{ fois}}\times \underbrace{(1-p)\times …(1-p)}{n-k \text{ fois}}=p^k\times (1-p)^{n-k}

Or le nombre de chemins correspondant à kk succès est égal à (nk)\binom nk, donc la probabilité d’obtenir kk succès est :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}

  • C’est (nk)\binom nk fois la probabilité d’un chemin avec kk succès.
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Exemple

On peut retrouver le résultat de l’exemple précédent avec cette formule.

  • En effet, avec n=3n=3 et p=38p=\frac 38, on a :

p(X=2)=(32)×(38)2×(58)32=3×45512=135512\begin{aligned} p(X=2)&=\binom 3 2\times \left(\dfrac 38\right)^2\times \left(\dfrac 58\right)^{3-2}\ &=3\times \dfrac{45}{512} \ &=\dfrac{135}{512} \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment définir les lois de Bernoulli et binomiale : ces lois sont respectivement associées à une épreuve et un schéma de Bernoulli.
On peut noter également que la loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale (elle est la loi binomiale pour n=1n=1).