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Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale
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Introduction :
En classe de première, nous avons vu la notion de variable aléatoire réelle, ainsi que la loi d’une variable aléatoire réelle. Dans ce cours, nous allons voir deux nouvelles lois de probabilité, à savoir la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d’étude : on s’en sert pour modéliser des situations simples de succès ou d’échec, un jeu de pile ou face, par exemple. Elle est également utilisée dans des tests statistiques qui permettent d’interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant du hasard.
Dans la première partie de ce cours, nous rappellerons quelques notions vues en classe de première, notamment la formule des probabilités totales, la notion d’indépendance et le conditionnement. Ensuite, nous verrons comment définir, à partir d’une épreuve de Bernoulli, la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
Succession d’épreuves indépendantes
Dans cette partie, nous rappellerons quelques notions de première sur les probabilités.
Formule des probabilités totales
Intuitivement, il s’agit de considérer toutes les issues d’une expérience aléatoire et d’en faire des groupes de telle sorte qu’aucun groupe ne contienne une même issue.
Partition de l’univers :
Soit événements de , avec un entier naturel supérieur ou égal à .
On dit que ces événements forment une partition de l’univers (ou un système complet d’événements) si les conditions suivantes sont vérifiées :
Pour mieux nous représenter cette notion, illustrons la partition de pour .
Image temporaire
Soit : « La boule tirée est jaune », : « La boule tirée est noire », et : « La boule tirée est rouge ».
Nous pouvons maintenant rappeler la formule des probabilités totales.
Soit une partition de l’univers et un événement quelconque de .
Alors la probabilité de est donnée par la formule :
Image temporaire
Comme les événements forment une partition de l’univers , alors ils sont à incompatibles. Donc les événements sont également deux à deux incompatibles et leur réunion est :
Probabilités conditionnelles
Nous allons, à présent, rappeler la notion de conditionnement et de probabilité conditionnelle.
Probabilité conditionnelle :
Soit et deux événements de l’univers . Supposons non nulle la probabilité de .
On appelle probabilité conditionnelle de sachant le nombre, noté , défini par :
Nous pouvons faire quelques remarques :
Comme on a : , alors la formule des probabilités totales peut aussi s’écrire sous la forme :
Voyons maintenant ce que devient cette formule lorsque l’événement ne dépend pas de l’événement , c’est-à-dire qu’il n’y a pas de conditionnement.
Indépendance de deux événements
Intuitivement, l’on comprend que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la réalisation de l’autre.
On a ainsi la définition suivante.
Indépendance de deux événements :
Soit et deux événements associés à une expérience aléatoire.
On dit que les événements et sont indépendants si et seulement si :
Prenons un exemple simple.
Dans un lancer de dé non truqué à faces, l’événement : « Obtenir un nombre pair », et l’événement : « Obtenir un multiple de », sont indépendants.
En effet, nous avons :
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
Quand deux événements et ne peuvent se réaliser tous les deux pendant la même expérience, on dit qu’ils sont incompatibles.
Si et sont deux événements indépendants d’un univers , alors l’événement contraire de , noté , et sont également indépendants.
Donnons une petite représentation, afin de mieux comprendre la démonstration qui va suivre.
Image temporaire
On a : et .
Comme et sont indépendants, on a : .
Nous obtenons ainsi :
Passons maintenant à la notion d’épreuves indépendantes, qui est fondée sur celle d’événements indépendants.
Indépendance de deux épreuves successives
Indépendance de épreuves :
Considérons expériences aléatoires réalisées successivement.
On dit que l’on réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.
La définition nous dit que :
Reprenons le petit exemple précédent.
Considérons l’événement « Obtenir un nombre supérieur ou égal à » et l’événement « Tirer une boule noire ». et sont deux événements de l’épreuve et respectivement.
Il s’agit tout simplement de la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à à l’épreuve et une boule noire à l’épreuve 2.
Si et ne sont pas indépendants, alors la formule n’est pas vraie. Dans ce cas, on utilise plutôt la formule qui découle du conditionnement à savoir : .
Si les épreuves ne sont pas indépendantes, on peut s’aider d’un arbre pondéré pour calculer les probabilités.
Aussi, avec un arbre pondéré (à niveaux), on comprend mieux la formule des probabilités totales.
Considérons l’arbre pondéré suivant où et sont de probabilités non nulles.
Image temporaire
On rappelle qu’un événement et son contraire , de probabilités non nulles, forment une partition de l’univers .
Sur cet arbre, en utilisant les règles de l’addition et de la multiplication, on obtient bien la formule des probabilités totales :
Remarquons que l’arbre précédent nous a donné :
Nous allons maintenant généraliser, en passant à la notion d’indépendance de épreuves aléatoires successives.
Indépendance de épreuves successives
Indépendance de épreuves successives :
On dit que épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont à indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).
Nous en tirons la propriété suivante.
Considérons une succession de épreuves indépendantes dont les univers sont .
Pour tous événements de ces univers respectivement, on a :
Après avoir redécouvert ces notions de probabilité vues en première, et essentielles pour la suite de notre chapitre (et pour bien d’autres, d’ailleurs), nous allons maintenant étudier deux nouvelles lois de probabilité : la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
Épreuve et loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli
Commençons par définir ce type d’expérience aléatoire.
Épreuve de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès () et échec ().
Si on note la probabilité d’obtenir , alors, comme et sont deux événements complémentaires (), la probabilité d’obtenir est donc .
Voici l’arbre correspondant à une épreuve de Bernoulli :
Image temporaire
Prenons quelques exemples.
Loi de Bernoulli
Dans le cas d’une épreuve de Bernoulli, nous pouvons définir une variable aléatoire .
Par convention, nous choisissons d’associer à toute issue correspondant à un succès et à toute issue correspondant à un échec.
Et nous pouvons donner sa loi de probabilité, appelée loi de Bernoulli.
Loi de Bernoulli :
On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité d’obtenir un succès.
Soit la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs :
Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre .
Elle est donnée par le tableau suivant :
En première, nous avions découvert les indicateurs d’une variable aléatoire : l’espérance et la variance.
Si est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre , alors :
Nous pouvons le démontrer facilement, grâce aux définitions que nous connaissons.
Nous allons maintenant voir ce qui se passe si l’on répète une épreuve de Bernoulli plusieurs fois de suite.
Schéma de Bernoulli
Schéma de Bernoulli :
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Les conditions identiques et indépendantes sont fondamentales pour être dans le cas d’un schéma de Bernoulli. Elles doivent donc être toujours vérifiées dans chaque situation.
Pour cela, nous vérifions :
On peut représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré, mais qui devient compliqué à tracer pour assez grand.
Donnons celui correspondant à un schéma de Bernoulli pour (épreuve de Bernoulli répétée fois) :
Image temporaire
Dans une urne contenant boules blanches et boules vertes, indiscernables au toucher, on tire une boule au hasard.
On regarde si elle est verte, on a alors un succès, et on la remet.
On effectue au total tirages.
est la probabilité d’obtenir un succès : « La boule tirée est verte ». La probabilité d’obtenir un échec : « La boule tirée est blanche », est alors égale à .
Ce schéma de Bernoulli est représenté par l’arbre pondéré suivant, dans lequel est l’événement « La boule tirée est verte » (succès) et « La boule tirée est blanche » (échec).
Image temporaire
Dans l’exemple que nous venons de voir, nous l’avons sous-entendu, mais insistons tout de même : s’il n’y avait pas eu remise après tirage, alors les probabilités n’auraient pas été identiques d’un tirage à l’autre.
En effet, si par exemple on tire au premier tirage une boule verte et qu’on ne la remet pas, alors la probabilité lors du deuxième tirage d’obtenir une boule verte sera moindre, tandis que celle d’obtenir une boule blanche sera plus grande.
Loi binomiale
Nous venons donc de définir ce qu’était un schéma de Bernoulli. Nous allons maintenant nous intéresser à ce qui nous importe vraiment ici, c’est-à-dire à la probabilité d’avoir succès dans un schéma de Bernoulli composé de épreuves (avec donc et des entiers naturels tels que ).
Définition
Loi binomiale :
Soit la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de épreuves d’un schéma de Bernoulli, et la probabilité de succès à chaque épreuve.
Alors la variable aléatoire suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres et , et notée généralement .
Pour prouver qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
Reprenons notre dernier exemple pour bien comprendre cette loi binomiale.
On considère la variable aléatoire , qui donne le nombre de boules vertes obtenues après tirages.
Toutes les conditions données plus haut sont vérifiées.
Avec l’arbre précédent, on peut expliciter cette loi binomiale .
De même, on pourra calculer , et .
Coefficient binomial
Nous avons découvert le coefficient binomial dans le cours sur le nombre de combinaisons de éléments dans un ensemble à éléments ( et des entiers naturels tels que ).
Dans ce même cours, nous avions aussi pris un exemple pour montrer que le nombre de chemins menant à un événement considéré comme un succès est donné par le coefficient binomial.
Coefficient binomial :
Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres et . Soit un entier naturel tel que .
On appelle coefficient binomial, noté , le nombre de chemins correspondant à succès.
Considérons l’arbre pondéré suivant correspondant au schéma de Bernoulli pour , avec la probabilité d’obtenir un succès () et la probabilité d’obtenir un échec ().
Image temporaire
Nous cherchons à savoir combien de chemins mènent à succès. Autrement dit, le nombre de combinaisons de parmi .
De même, on a :
Il y a seul chemin contenant succès | ||
Il y a chemins contenant succès | ||
Il y a seul chemin contenant succès |
Nous remarquons les égalités suivantes :
Nous retrouvons les propriétés suivantes.
Soit un entier naturel.
Nous avons :
Nous pouvons aussi donner la formule de Pascal, que nous avons démontrée dans le cours sur la combinatoire.
Si et , nous avons :
Avec ces formules, on peut calculer de proche en proche les coefficients binomiaux.
On peut aussi calculer ces coefficients binomiaux avec une calculatrice.
Probabilités pour une loi binomiale
Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale .
Pour tout entier naturel (avec , la probabilité d’obtenir succès sur les épreuves est donnée par la formule :
Considérons l’arbre correspondant à la loi binomiale .
Si un chemin contient succès, alors il contient échecs.
Or le nombre de chemins correspondant à succès est égal à , donc la probabilité d’obtenir succès est :
On peut retrouver le résultat de l’exemple précédent avec cette formule.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu comment définir les lois de Bernoulli et binomiale : ces lois sont respectivement associées à une épreuve et un schéma de Bernoulli.
On peut noter également que la loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale (elle est la loi binomiale pour ).