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Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

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  • Ω\Omega désigne l’univers associé à une expérience aléatoire et pp une probabilité sur Ω\Omega.

Succession d’épreuves indépendantes

  • Soit A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\, A_n nn événements de Ω\Omega, avec nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.
  • Ces événements forment une partition de l’univers Ω\Omega si les 33 conditions suivantes sont vérifiées :
  • aucun des AiA_i n’est de probabilité nulle pour ii allant de 11 à nn ;
  • les AiA_i sont 22 à 22 disjoints :
  • la réunion des AiA_i est égale à l’univers Ω\Omega.
  • Soit A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\,A_n une partition de l’univers Ω\Omega et BB un événement quelconque de Ω\Omega.
  • La probabilité de BB est donnée par :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)++p(AnB)p(B)=p(A1\cap B)+p(A2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)

  • Soit AA et BB deux événements de l’univers Ω\Omega, et p(A)0p(A)\neq0.
  • On appelle probabilité conditionnelle de BB sachant AA le nombre :

pA(B)=p(AB)p(A)p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

  • Soit AA et BB deux événements associés à une expérience aléatoire.
  • AA et BB sont indépendants si et seulement si p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B).
  • Si AA et BB sont indépendants, alors Aˉ\bar A et BB sont également indépendants.
  • Considérons 22 expériences aléatoires réalisées successivement.
  • On réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.
  • On dit que nn épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont 22 à 22 indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).
  • Considérons une succession de nn épreuves indépendantes dont les univers sont Ω1,Ω2,,Ωn\Omega1,\,\Omega2,\,…,\,\Omega_n.
  • Pour tous événements A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\,A_n de ces univers respectivement, on a :

p(A1A2An)=p(A1)×p(A2)××p(An)p(A1\cap A2\cap …\cap An)=p(A1)\times p(A2)\times …\times p(An)

Épreuve et loi de Bernoulli

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès (SS) et échec (EE).
  • Si on note pp la probabilité d’obtenir SS, alors la probabilité d’obtenir EE est 1p1-p.
  • On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité pp d’obtenir un succès.
    Soit XX la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs : la valeur 11 si l’issue est un succès ; la valeur 00 si l’issue est un échec.
  • Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire XX est appelée loi de Bernoulli de paramètre pp :

xixi 11 00
p(X=xi)p(X=xi) pp 1p1-p
  • Si XX est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre pp, alors :
  • l’espérance mathématique de XX vaut : E(X)=pE(X)=p ;
  • la variance de XX vaut : V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p).
  • On appelle schéma de Bernoulli la répétition de nn épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
  • Les conditions « identiques » et « indépendantes » doivent être vérifiées dans chaque situation.

Loi binomiale

  • Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de nn épreuves d’un schéma de Bernoulli, et pp la probabilité de succès à chaque épreuve.
  • La variable aléatoire XX suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres nn et pp, notée B(n,p)\mathcal B(n,\, p).
  • Pour prouver qu’une variable aléatoire XX suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
  • il faut avoir nn expériences identiques ;
  • chaque expérience a 22 issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
  • ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
  • la variable aléatoire XX compte le nombre de succès obtenus lors des nn épreuves.
  • Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.
    Soit kk un entier naturel tel que 0kn0\leq k\leq n.
  • On appelle coefficient binomial, noté (nk)\binom nk, le nombre de chemins correspondant à kk succès.
  • Soit nn un entier naturel.
  • Nous avons :

(n0)=(nn)=1(nk)=(nnk) [ouˋ 0kn]\begin{aligned} \binom n0&=\binom nn=1 \ \binom n k&=\binom n {n-k} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [où $0\leq k\leq n$]}}} \end{aligned}

  • Si n2n\geq 2 et 1kn11\leq k\leq n-1:

(nk)=(n1k)+(n1k1)\binom nk =\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1}

  • Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p)\mathcal B(n,\, p).
  • Pour tout entier naturel kk (avec 0kn)0\leq k\leq n), la probabilité d’obtenir kk succès sur les nn épreuves est donnée par :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}