Fiche de révision : Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

$\Omega$ désigne l’univers associé à une expérience aléatoire et $p$ une probabilité sur $\Omega$.

Succession d’épreuves indépendantes

Soit $A_1,\,A_2,\,…,\, A_n$ $n$ événements de $\Omega$, avec $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Ces événements forment une partition de l’univers $\Omega$ si les $3$ conditions suivantes sont vérifiées :
aucun des $A_i$ n’est de probabilité nulle pour $i$ allant de $1$ à $n$ ;
les $A_i$ sont $2$ à $2$ disjoints :
la réunion des $A_i$ est égale à l’univers $\Omega$.
Soit $A_1,\,A_2,\,…,\,A_n$ une partition de l’univers $\Omega$ et $B$ un événement quelconque de $\Omega$.
La probabilité de $B$ est donnée par :

$$p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)$$

Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$, et $p(A)\neq0$.
On appelle probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ le nombre :

$$p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire.
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar A$ et $B$ sont également indépendants.
Considérons $2$ expériences aléatoires réalisées successivement.
On réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.
On dit que $n$ épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont $2$ à $2$ indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).
Considérons une succession de $n$ épreuves indépendantes dont les univers sont $\Omega_1,\,\Omega_2,\,…,\,\Omega_n$.
Pour tous événements $A_1,\,A_2,\,…,\,A_n$ de ces univers respectivement, on a :

$$p(A_1\cap A_2\cap …\cap A_n)=p(A_1)\times p(A_2)\times …\times p(A_n)$$

Épreuve et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès ($S$) et échec ($E$).
Si on note $p$ la probabilité d’obtenir $S$, alors la probabilité d’obtenir $E$ est $1-p$.
On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité $p$ d’obtenir un succès.
Soit $X$ la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs : la valeur $1$ si l’issue est un succès ; la valeur $0$ si l’issue est un échec.
Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

$x_i$	$1$	$0$
$p(X=x_i)$	$p$	$1-p$

Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors :
l’espérance mathématique de $X$ vaut : $E(X)=p$ ;
la variance de $X$ vaut : $V(X)=p(1-p)$.
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Les conditions « identiques » et « indépendantes » doivent être vérifiées dans chaque situation.

Loi binomiale

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves d’un schéma de Bernoulli, et $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
La variable aléatoire $X$ suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal B(n,\, p)$.
Pour prouver qu’une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
il faut avoir $n$ expériences identiques ;
chaque expérience a $2$ issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
la variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès obtenus lors des $n$ épreuves.
Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
Soit $k$ un entier naturel tel que $0\leq k\leq n$.
On appelle coefficient binomial, noté $\binom nk$, le nombre de chemins correspondant à $k$ succès.
Soit $n$ un entier naturel.
Nous avons :

$$\begin{aligned} \binom n0&=\binom nn=1 \\ \binom n k&=\binom n {n-k} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [où $0\leq k\leq n$]}}} \end{aligned}$$

Si $n\geq 2$ et $1\leq k\leq n-1$:

$$\binom nk =\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1}$$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,\, p)$.
Pour tout entier naturel $k$ (avec $0\leq k\leq n)$, la probabilité d’obtenir $k$ succès sur les $n$ épreuves est donnée par :

$$p(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$$