On réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.
On dit que n épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont 2 à 2 indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).
Considérons une succession de n épreuves indépendantes dont les univers sont Ω1,Ω2,…,Ωn.
Pour tous événements A1,A2,…,An de ces univers respectivement, on a :
p(A1∩A2∩…∩An)=p(A1)×p(A2)×…×p(An)
Épreuve et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès (S) et échec (E).
Si on note p la probabilité d’obtenir S, alors la probabilité d’obtenir E est 1−p.
On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité p d’obtenir un succès.
Soit X la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs : la valeur 1 si l’issue est un succès ; la valeur 0 si l’issue est un échec.
Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p :
xi
1
0
p(X=xi)
p
1−p
Si X est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, alors :
l’espérance mathématique de X vaut : E(X)=p ;
la variance de X vaut : V(X)=p(1−p).
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Les conditions « identiques » et « indépendantes » doivent être vérifiées dans chaque situation.
Loi binomiale
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de n épreuves d’un schéma de Bernoulli, et p la probabilité de succès à chaque épreuve.
La variable aléatoire X suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Pour prouver qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
il faut avoir n expériences identiques ;
chaque expérience a 2 issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
la variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus lors des n épreuves.
Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Soit k un entier naturel tel que 0≤k≤n.
On appelle coefficient binomial, noté (kn), le nombre de chemins correspondant à k succès.
Soit n un entier naturel.
Nous avons :
(0n)(kn)=(nn)=1=(n−kn) [ouˋ 0≤k≤n]
Si n≥2 et 1≤k≤n−1:
(kn)=(kn−1)+(k−1n−1)
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p).
Pour tout entier naturel k (avec 0≤k≤n), la probabilité d’obtenir k succès sur les n épreuves est donnée par :