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Suites numériques, modèles discrets et limites
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Introduction :
Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque les rangs de la suite deviennent de plus en plus grands.
Nous allons étudier en particulier deux cas :
Nous verrons ensuite les théorèmes qui permettent de déterminer une limite de suite, notamment la limite d’une suite géométrique de raison positive et d’une somme de termes d’une suite géométrique de raison positive et strictement inférieure à 1.
Enfin, nous définirons les suites arithmético-géométrique et en étudierons un exemple concret.
Définition de la limite d’une suite
Limite finie
Regardons la représentation suivante d’une suite, avec les termes placés sur un axe gradué :
On peut constater que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle . Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur de cet intervalle.
Limite finie :
Dire qu’un réel est limite d’une suite signifie que tout intervalle ouvert de centre contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit que la suite est convergente de limite , ou que la suite converge vers .
Donnons les limites de quelques suites de référence :
Limite infinie
Regardons maintenant la représentation suivante d’une autre suite :
On constate cette fois-ci que, sur l’axe des ordonnées, tous les termes de la suite, à partir de l’indice , appartiennent à l’intervalle ouvert .
Suite divergeant vers :
Dire qu’une suite a pour limite signifie que tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que est divergente ou que diverge vers .
Donnons quelques limites de suites de référence :
Étudions cette fois la représentation graphique suivante :
Suite divergeant vers :
Dire qu’une suite a pour limite signifie que tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que est divergente ou que diverge vers .
La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
La suite définie par alterne entre les valeurs et , selon la parité de l’entier :
Théorèmes sur la limite d’une suite
Nous venons de définir la notion de limite. Voyons maintenant des moyens efficaces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite :
Commençons par faire un rappel de vocabulaire.
Limite et comparaison
Dans certains cas, comparer deux suites, si l’on connaît la divergence de l’une, permet de déduire la divergence de l’autre.
Théorème de comparaison des limites :
Soit et deux suites.
Le théorème des gendarmes
Le théorème des gendarmes permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où elle est encadrée par deux autres suites.
Pour utiliser une image simple, imaginez deux gendarmes encadrant un suspect.
Théorème des gendarmes :
On considère trois suites , et . Si :
Les suites , et , avec , sont représentées ci-dessous.
Les suites et () convergent vers le réel .
Suites géométriques , positif
En classe de première, nous avions vu le théorème de la limite des suites géométriques , avec réel.
Rappelons-le ici, pour positif seulement.
Théorème de la limite de :
Soit un nombre positif.
On a alors les limites suivantes :
Appliquons le théorème de la limite de sur quelques suites.
Après avoir étudié la limite d’une suite géométrique, donnons les propriétés des opérations sur les limites et, en application, étudions la limite d’une suite constituée par la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
Opérations sur les limites et application
Opérations sur les limites
La partie précédente nous a donné des théorèmes qui nous permettent de calculer, dans certains cas, la limite d’une suite. Regardons maintenant les règles opératoires qui s’appliquent aux limites.
Lorsque deux suites et ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite :
Nous allons donner ci-dessous les tableaux des règles opératoires : on peut les retrouver facilement, par exemple en se disant que, pour la somme, l’infini l’« emporte » sur le fini, ou que multiplié par donne .
Toutefois, il existe des cas où il n’y a pas de règle générale (par exemple, dans une multiplication, qui de ou de l’infini l’« emporte » ?).
Nous découvrirons, un peu plus loin, comment « lever » ces indéterminations.
Limites de la somme de deux suites
Limites du produit de deux suites
ou | |||
Limites du quotient de deux suites
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Levons maintenant l’indétermination.
On calcule d’abord :
Ainsi :
D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut passer l’étape de la factorisation et ne garder que le terme de plus haut degré.
Appliquons cette astuce sur un exemple simple :
Limite de la somme de termes d’une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à
En classe de première, nous avons vu les propriétés de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison réel différent de . Rappelons-les ici.
Soit une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à .
La formule suivante donne la somme de termes consécutifs :
Avec , nous pouvons écrire :
Nous en déduisons la propriété suivante.
Soit un entier naturel non nul et un réel positif strictement inférieur à . Nous avons alors :
On considère la suite géométrique de premier terme et de raison .
On cherche à calculer .
D’après la formule précédente :
Donnons maintenant la limite de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
Soit une suite géométrique de raison , un réel positif strictement inférieur à , et la somme de ses termes consécutifs , avec entier naturel tel que .
Nous avons alors :
En particulier, pour la somme des premiers termes de la suite de premier terme :
Nous allons démontrer cette propriété.
Suites arithmético-géométriques
Définition
En première, nous avons étudié les suites arithmétiques et les suites géométriques.
Définissons pour commencer, à partir de ces dernières, un nouveau type de suites : les suites arithmético-géométriques.
Suite arithmético-géométrique :
Soit une suite de nombres vérifiant , où et sont des nombres réels non nuls.
Nous pouvons remarquer :
Regardons comment passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec de telles suites.
Considérons une suite de nombres qui vérifie , pour tout entier naturel , où et sont des nombres réels non nuls.
Prenons un exemple pour montrer comment appliquer cette méthodologie.
Intéressons-nous à la suite arithmético-géométrique définie par :
Nous avons ainsi :
Nous en déduisons par soustraction, pour tout entier naturel :
La suite est géométrique de raison et de premier terme .
De cet exemple, nous pouvons tirer une propriété sur la convergence d’une suite arithmético-géométrique.
Convergence :
Considérons une suite de nombres qui vérifie , avec et des nombres réels non nuls, et .
La suite est divergente si ou .
Reprenons la suite de l’exemple précédent définie par :
, nous avons donc , et :
Application d’une suite arithmético-géométrique
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2020, il achète colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre des colonies durant l’hiver.
Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer nouvelles colonies chaque printemps.
Exprimons pour tout entier naturel le terme en fonction de , et montrons que la suite est définie par une relation de récurrence arithmético-géométrique.
Soit un entier naturel.
Soit le nombre de colonies d’abeilles l’année .
L’hiver de l’année , l’apiculteur perd du nombre de ses colonies de l’année précédente.
Il perd donc colonies, car le coefficient multiplicateur associé à une baisse de est .
Au printemps de l’année , l’apiculteur installe nouvelles colonies.
Au mois de juillet de l’année , il a donc colonies d’abeilles, et ce nombre correspond à .
Il s’agit bien d’une relation de récurrence arithmético-géométrique.
Montrons que la suite est géométrique et que, pour tout nombre entier naturel , nous avons .
Soit un entier naturel.
Remarque :
La solution
Ce qui explique l’apparition du nombre
D’après la formule donnant le terme d’une suite géométrique en fonction de son premier terme,
L’année 2030 correspond à la valeur
En juillet 2030, le nombre de colonies que l’apiculteur peut espérer posséder est donc :
Nous avons
En conclusion, pour un grand nombre
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu la définition d’une limite de suite quand elle existe, puis des théorèmes permettant de déterminer cette limite.
Nous avons également découvert, à travers un exemple concret, de nouvelles suites définies par récurrence : les suites arithmético-géométriques.
Nous avons ici étudié des suites discrètes. Dans les prochains cours, nous nous intéresserons aux limites de fonctions continues.