Suites numériques, modèles discrets et limites

Définition de la limite d’une suite

Limite finie :
Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $(u_n)$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $$
On dit que la suite $(u_n)$ est convergente de limite $l$, ou que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
Suite divergeant vers $+\infty$ :
Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $[A\ ; +\infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$
On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
Suite divergeant vers $-\infty$ :
Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty\ ;\,A]$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$$
On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
Théorème :

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Théorèmes sur les limites d’une suite

Suite majorée, minorée et bornée :
Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$.
$M$ est appelé le majorant de $(u_n)$.
Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$.
$m$ est appelé le minorant de $(u_n)$.
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
Théorème de comparaison des limites : soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.
Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$
Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$
alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
Théorème des gendarmes : on considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si :
pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $n_0$, $v_n \leq u_n \leq w_n$,
les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$,
alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
Théorème de la limite des suites géométriques $(q^n)$ :
Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :
si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty$
si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$
si $q \leq - 1$ alors la suite $(q^n)$ n’admet pas de limite.
Théorème de convergence des suites monotones :
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Du précédent théorème découle un deuxième :
Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.
Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$.
Conséquences du théorème de convergence des suites monotones :
Si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq l$.
Si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq l$.

Opérations sur les limites

Tableaux récapitulatifs des règles opératoires sur les limites de suites :

Limites de la somme de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$	$l^\prime$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n+v_n}$	$\red{l+l^\prime}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Limites du produit de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$	$l$	$l\neq0$ ou $\pm\infty$	$0$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$	$l^\prime$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n}$	$\red{ l\times l^\prime}$	$\red {\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Limites du quotient de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$	$l$	$l$	$0$	$l\neq0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$	$l^\prime\neq0$	$\pm\infty$	$0$	$0$	$l^\prime$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}}$	$\red{\dfrac l{l^\prime}}$	$\red 0$	$\red{\text{FI}}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
Il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.

Suites arithmético-géométriques

Soit $(u_n)$ une suite de nombres vérifiant $u_{n+1}=au_n+b$, où $a\neq1$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.
Une telle suite est dite arithmético-géométrique ou récurrence affine.
Pour passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec de telles suites :
On résout l’équation $x=ax+b$.
Elle a une solution unique $c$.
On introduit la suite auxiliaire $(x_n)$ définie par $x_n=u_n-c$ pour tout entier naturel $n$ : on prouve qu’elle est géométrique (de raison $a$)
Il en résulte que, pour tout entier naturel $n$, $x_n=a^nx_0$.
On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel $n$, $u_n=x_n+c$.
D’où l’expression : $u_n=a^n(u_0-c)+c$, pour tout entier naturel $n$.
Considérons une suite de nombres $(u_n)$ qui vérifie $u_{n+1}=a\ u_n+b$, avec $a$ et $b$ des nombres réels non nuls, et $-1 < a < 1$.
La suite $(u_n)$ converge vers le nombre $c$ qui vérifie $c=ac+b$.
La suite est divergente si $a\leq-1$ ou $a\geq 1$.

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