Suites numériques, modèles discrets et limites : Fiche Tle

Définition de la limite d’une suite

Limite finie :
Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $(u$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $\lim\limits$ {n \to +\infty} u_n = l $n \to + \infty lim u_{n} = l$
On dit que la suite $(u$ est convergente de limite $l$ , ou que la suite $(u$ n) $(u_{n})$ converge vers $l$ .
Suite divergeant vers $+\infty$ :
Dire qu’une suite $(u$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $[A\ ; +\infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $\lim\limits$ {n \to +\infty} u_n = +\infty $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$
On dit alors que $(u$ est divergente ou que $(u$ n) $(u_{n})$ diverge vers $+\infty$ .
Suite divergeant vers $-\infty$ :
Dire qu’une suite $(u$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty\ ;\,A]$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $\lim\limits$ {n \to +\infty} u_n = -\infty $n \to + \infty lim u_{n} = - \infty$
On dit alors que $(u$ est divergente ou que $(u$ n) $(u_{n})$ diverge vers $-\infty$ .
Théorème :

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Théorèmes sur les limites d’une suite

Suite majorée, minorée et bornée :
Une suite $(u$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u$ n \leq M $u_{n} \leq M$ .
$M$ est appelé le majorant de $(u_n)$ .
Une suite $(u$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u$ n \geq m $u_{n} \geq m$ .
$m$ est appelé le minorant de $(u_n)$ .
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
Théorème de comparaison des limites : soit $(u$ et $(v$ n) $(v_{n})$ deux suites.
Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n$ : $u$ n \leq vn $u_{n} \leq v_{n}$ et $\lim\limits$ {n \to +\infty} u_n = +\infty $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$
alors : $\lim\limits$
Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n$ : $u$ n \leq vn $u_{n} \leq v_{n}$ et $\lim\limits$ {n \to +\infty} v_n = -\infty $n \to + \infty lim v_{n} = - \infty$
alors : $\lim\limits$
Théorème des gendarmes : on considère trois suites $(u$ , $(v$ n) $(v_{n})$ et $(w_n)$ . Si :
pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $n$ , $v$ n \leq un \leq wn $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ ,
les suites $(v$ et $(w$ n) $(w_{n})$ convergent vers la même limite $l$ ,
alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$ .
Théorème de la limite des suites géométriques $(q^n)$ :
Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :
si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty$
si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$
si $q \leq - 1$ alors la suite $(q^n)$ n’admet pas de limite.
Théorème de convergence des suites monotones :
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Du précédent théorème découle un deuxième :
Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$ .
Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$ .
Conséquences du théorème de convergence des suites monotones :
Si une suite $(u$ est croissante et admet pour limite $l$ , alors, pour tout entier naturel $n$ , $u$ n \leq l $u_{n} \leq l$ .
Si une suite $(u$ est décroissante et admet pour limite $l$ , alors, pour tout entier naturel $n$ , $u$ n \geq l $u_{n} \geq l$ .

Opérations sur les limites

Tableaux récapitulatifs des règles opératoires sur les limites de suites :

Limites de la somme de deux suites

$\lim\limits$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim\limits$	$l^\prime$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\red{\lim\limits$	$\red{l+l^\prime}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Limites du produit de deux suites

$\lim\limits$	$l$	$l\neq0$ ou $\pm\infty$	$0$
$\lim\limits$	$l^\prime$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits$	$\red{ l\times l^\prime}$	$\red {\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Limites du quotient de deux suites

$\lim\limits$	$l$	$l$	$0$	$l\neq0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\lim\limits$	$l^\prime\neq0$	$\pm\infty$	$0$	$0$	$l^\prime$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits$	$\red{\dfrac l{l^\prime}}$	$\red 0$	$\red{\text{FI}}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
Il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.

Suites arithmético-géométriques

Soit $(u$ une suite de nombres vérifiant $u$ {n+1}=au_n+b $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , où $a\neq1$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.
Une telle suite est dite arithmético-géométrique ou récurrence affine.
Pour passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec de telles suites :
On résout l’équation $x=ax+b$ .
Elle a une solution unique $c$ .
On introduit la suite auxiliaire $(x$ définie par $x$ n=u_n-c $x_{n} = u_{n} - c$ pour tout entier naturel $n$ : on prouve qu’elle est géométrique (de raison $a$ )
Il en résulte que, pour tout entier naturel $n$ , $x$ .
On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel $n$ , $u$ .
D’où l’expression : $u$ , pour tout entier naturel $n$ .
Considérons une suite de nombres $(u$ qui vérifie $u$ {n+1}=a\ u_n+b $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , avec $a$ et $b$ des nombres réels non nuls, et $-1 < a < 1$ .
La suite $(u_n)$ converge vers le nombre $c$ qui vérifie $c=ac+b$ .
La suite est divergente si $a\leq-1$ ou $a\geq 1$ .

Fiche de révision : Suites numériques, modèles discrets et limites

Définition de la limite d’une suite

Théorèmes sur les limites d’une suite

Opérations sur les limites

Suites arithmético-géométriques