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Limites de suites

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Introduction :

Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque nn tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque les termes de la suite deviennent de plus en plus grands.

Nous allons étudier en particulier deux cas :

  • celui où la limite de la suite est finie et vaut une valeur que l’on notera « ll » ;
  • celui où la limite est infinie, la suite tendra alors vers ++\infty ou -\infty.

Nous verrons ensuite les théorèmes qui permettent de déterminer une limite de suite. Enfin, nous utiliserons les limites de suite pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle.

Définition de la limite d’une suite

Limite finie

Regardons la représentation suivante d’une suite, avec les termes placés sur un axe gradué :

Img-01

 

On peut constater que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ]l0,1 ;l+0,1[]l-0,1\ ;\,l+0,1[. Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur ll de cet intervalle.

  • Ce phénomène traduit la notion de limite finie.
bannière definition

Définition

Limite finie :

Dire qu’un réel ll est limite d’une suite (un)(u_n) signifie que tout intervalle ouvert de centre ll contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

  • On écrit alors :

limn+un=l\lim\limits{n \to +\infty} un = l

On dit que la suite (un)(un) est convergente de limite ll, ou que la suite (un)(un) converge vers ll.

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À retenir

Donnons les limites de quelques suites de référence :

  • limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} {\dfrac 1n} = 0
  • limn+1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty} {\dfrac 1{n^2}} = 0
  • limn+1n3=0\lim\limits_{n \to +\infty} {\dfrac 1{n^3}} = 0
  • limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} {\dfrac 1{\sqrt n}} = 0

Limite infinie

Regardons maintenant la représentation suivante d’une autre suite :

Img-02

 

On constate cette fois-ci que, sur l’axe des ordonnées, tous les termes de la suite, à partir de l’indice N1N1, appartiennent à l’intervalle ouvert ]A1,+[]A1,+\infty[.

  • Autrement dit, plus nn est grand, plus les termes unu_n arrivent à dépasser tout nombre AA.
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Définition

Suite tendant vers ++\infty :

Dire qu’une suite (un)(u_n) a pour limite ++\infty signifie que tout intervalle de la forme [A ;+[[A\ ; +\infty [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

  • On écrit alors :

limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = +\infty

On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers ++\infty.

bannière à retenir

À retenir

Donnons quelques limites de suites de référence :

  • limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n} = +\infty
  • limn+n2=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n^2} = +\infty
  • limn+n3=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n^3} = +\infty
  • limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty} {\sqrt n} = +\infty

Étudions cette fois la représentation graphique suivante :

Img-03

limite moins infini-mathématiques-terminale-schoolmouv

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Définition

Suite tendant vers -\infty :

Dire qu’une suite (un)(u_n) a pour limite -\infty signifie que tout intervalle de la forme ] ;A]]-\infty\ ;\,A] contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

  • On écrit alors :

limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un = -\infty

On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers -\infty.

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Théorème

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

bannière attention

Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.

bannière exemple

Exemple

La suite (un)(un) définie par un=(1)nun=(-1)^n alterne entre les valeurs 1-1 et 11, selon la parité de l’entier nn :

  • si nn est pair, un=1u_n=1 ;
  • si nn est impair, un=1u_n=-1.
  • Cette suite n’a donc pas de limite.

Théorèmes sur les limites d’une suite 

Nous venons de définir la notion de limite. Voyons maintenant des moyens efficaces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite :

  • en comparant deux suites entre elles ;
  • en utilisant le théorème des gendarmes ;
  • en utilisant les suites géométriques ;
  • ou encore en utilisant le théorème de convergence des suites monotones.

Limite et comparaison

Dans certains cas, comparer deux suites, connaître la divergence de l’une permet de déduire la divergence de l’autre.

bannière theoreme

Théorème

Théorème de comparaison des limites :

Soit (un)(un) et (vn)(vn) deux suites.

  • Si, pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n_0 :
  • unvnun \leq vn
  • limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = +\infty
  • alors : limn+vn=+\lim\limits{n \to +\infty} vn = +\infty
  • Si, pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n_0 :
  • unvnun \leq vn
  • limn+vn=\lim\limits{n \to +\infty} vn = -\infty
  • alors : limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un = -\infty
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Démonstration

Démontrons le premier point, c’est-à-dire la divergence vers ++\infty d’une suite minorée par une suite divergeant vers ++\infty.

On sait que, pour un entier naturel nn0n \geq n0, on a : unvnun \leq vn.
On a aussi : limn+un=+\lim\limits
{n \to +\infty} u_n = +\infty.

Soit un réel A>0A > 0.
Il existe donc un rang n1n1 (entier naturel) tel que, pour tout entier naturel nn1n \geq n1 :

unAu_n \geq A

En considérant l’entier naturel NN, plus grande valeur entre n0n0 et n1n1, on a, pour tout entier naturel n>Nn > N :

vnunvn \geq un et un>Au_n > A

D’où : vn>Avn > A pour tout entier naturel n>Nn > N.
Autrement dit, pour tout réel A>0A > 0, il existe un rang NN tel que vn>Av
n > A pour tout entier naturel n>Nn > N.

  • Ainsi : limn+vn=+\lim\limits{n \to +\infty} vn = +\infty

Le théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où elle est encadrée par deux autres suites.

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Astuce

Pour utiliser une image simple, imaginez deux gendarmes encadrant un suspect.

  • Si les deux gendarmes vont dans la même direction, le suspect ne peut qu’aller dans cette direction !
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Théorème

Théorème des gendarmes :

On considère trois suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(w_n). Si :

  • pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel n0n0, vnunwnvn \leq un \leq wn,
  • les suites (vn)(vn) et (wn)(wn) convergent vers la même limite ll,
  • alors la suite (un)(u_n) converge vers ll.

Les suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(wn), avec vnunwnvn \leq un \leq wn, sont représentées ci-dessous.

Img-04

 

Les suites (vn)(vn) et (wnwn) convergent vers le réel ll.

  • On voit que c’est aussi le cas de la suite (un)(u_n).
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Exemple

Déterminer, si elle existe, la limite de la suite (un)(u_n) définie par :

un=n+(1)nnu_n=\dfrac{n+(-1)^n} n pour tout n1n \geq 1

Pour pouvoir utiliser le théorème des gendarmes, il faut encadrer la suite (un)(u_n). Pour cela on doit écrire des inégalités.

Pour tout n1n \geq 1 : 1(1)n1-1 \leq (-1)^n\leq1
On ajoute nn à chaque membre : n1n+(1)nn+1n-1 \leq n + (-1)^n \leq n+1
On divise tout par nn (n>0n > 0) : n1nn+(1)nnn+1n\dfrac {n-1} n \leq \dfrac {n + (-1)^n} n \leq \dfrac {n+1} n
Ce qui équivaut à : 11nun1+1n1-\dfrac 1n \leq un \leq {1+ \dfrac 1n}
Or, limn+1n=0\lim\limits{n \to +\infty} {1\over n} = 0, donc : limn+(11n)=limn+(1+1n)=1\lim\limits{n \to +\infty} {\left(1-\dfrac 1n\right)} = \lim\limits{n \to +\infty} {\left(1+\dfrac 1n\right)} =1
Et donc, d’après le théorème des gendarmes : limn+un=1\lim\limits{n \to +\infty} un = 1

Suites géométriques (qn)(q^n), qq réel

En classe de première, nous avions vu le théorème de la limite de (qn)(q^n).
Rappelons-le ici. Nous démontrerons ensuite l’une des limites données.

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Théorème

Théorème de la limite de (qn)(q^n) :

Soit qq un nombre réel.
On a alors les limites suivantes :

  • si q>1q>1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty
  • si 1<q<1-1 < q < 1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0
  • si q1q \leq - 1 alors la suite (qn)(q^n) n’admet pas de limite.
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Démonstration

Démontrons que, si q>1q>1, alors : limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty.

Nous allons utiliser la formule de Bernoulli démontrée dans le cours précédent, sur le raisonnement par récurrence :

  • pour tout réel xx strictement positif et nn entier naturel :

(1+x)n1+nx{(1+x)}^n \geq 1 + nx

Soit q>1q > 1.
Il existe un réel x>0x > 0 tel que q=1+xq = 1 + x.

  • On a donc : qn=(1+x)nq^n = {(1 + x)}^n.

D’après l’inégalité de Bernoulli, on a, pour tout entier naturel nn :
qn=(1+x)n1+nxq^n = (1 + x)^n \geq 1+nx

  • La suite (qn)(q^n) est donc minorée par la suite (1+nx)(1+nx).

x>0x > 0, donc : limn+(1+nx)=+\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + nx) = +\infty.

  • La suite (qn)(q^n) est donc minorée par la suite (1+nx)(1+nx), dont la limite est ++\infty.

D’après le théorème de comparaison des limites, on obtient :

limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty

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Exemple

  • Pour la suite (un=(2)n)\big(u_n = (\sqrt2)^n\big), on a : q=2>1q = \sqrt{2} >1.
  • Donc : limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = +\infty.
  • Pour la suite (vn=(12)n)\bigg(v_n = \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n\bigg), on a : 1<q=12<1-1 < q = \dfrac{1}{2} < 1.
  • Donc : limn+vn=0\lim\limits{n \to +\infty} vn = 0.
  • Pour la suite (wn=(2)n)\big(w_n = (-2)^n\big), on a : q=21q = -2 \leq - 1.
  • Donc (wn)(w_n) n’a pas de limite.

Théorème de convergence des suites monotones

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Définition

Suite majorée, minorée et bornée :

  • Une suite (un)(un) est majorée s’il existe un nombre MM tel que, pour tout entier naturel nn, unMun \leq M.
  • MM est appelé le majorant de (un)(u_n).
  • Une suite (un)(un) est minorée s’il existe un nombre mm tel que, pour tout entier naturel nn, unmun \geq m.
  • mm est appelé le minorant de (un)(u_n).
  • Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.

Dans certains cas, on peut déduire de la monotonie d’une suite sa convergence ou sa divergence.

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Théorème

  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.

De ce premier théorème découle un deuxième.

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Théorème

  • Toute suite croissante non majorée a pour limite ++\infty.
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite -\infty.

Enfin, nous pouvons donner une autre conséquence.

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Théorème

  • Si une suite (un)(un) est croissante et admet pour limite ll, alors, pour tout entier naturel nn, unlun \leq l.
  • Si une suite (un)(un) est décroissante et admet pour limite ll, alors, pour tout entier naturel nn, unlun \geq l.
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Démonstration

Par exemple, démontrons qu’une suite croissante non majorée a pour limite ++\infty.

Soit un réel A>0A > 0.
La suite (un)(un) n’est pas majorée. En particulier, (un)(un) n’est pas majorée par AA.

  • Il existe donc un entier naturel NN tel que uN>Au_N > A.

La suite (un)(un) est croissante. Pour tout nNn \geq N, unuNun \geq uN, puis un>Aun > A.

  • Pour tout réel A>0A > 0, il existe un rang NN tel que, pour tout nNn \geq N, un>Au_n > A.
  • Par définition, (un)(u_n) a pour limite ++\infty.

Opérations sur les limites

La partie précédente nous a donné des théorèmes qui nous permettent de calculer, dans certains cas, la limite d’une suite.
Regardons maintenant les règles opératoires qui s’appliquent aux limites.

Lorsque deux suites (un)(un) et (vn)(vn) ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite :

  • de (un+vn)(un+vn) : la limite correspond à la somme des limites de (un)(un) et (vn)(vn) ;
  • de (un×vn)(un \times vn) : la limite correspond au produit des limites de (un)(un) et (vn)(vn) ;
  • et de (unvn)\Big(\dfrac {un} {vn}\Big) : la limite correspond au quotient des limites de (un)(un) et (vn)(vn).

Nous allons donner ci-dessous les tableaux des règles opératoires : on peut les retrouver facilement, par exemple en se disant que, pour la somme, l’infini l’« emporte » sur le fini, ou que « plus » multiplié par « moins » donne « moins ».

bannière attention

Attention

Toutefois, il existe des cas où il n’y a pas de règle générale (par exemple, dans une multiplication, qui de 00 ou de l’infini l’« emporte » ?).

  • Nous parlons alors de forme indéterminée (FI\text{FI}).

Nous découvrirons, un peu plus loin, comment « lever » ces indéterminations.

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À retenir

Limites de la somme de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limn+un+vn\red{\lim\limits{n \to +\infty} un+v_n} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du produit de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll l0l\neq0 ou ±\pm\infty 00
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn ll^\prime ±\pm\infty ±\pm\infty
limn+un×vn\red{\lim\limits{n \to +\infty} un\times v_n} l×l\red{ l\times l^\prime} ±\red {\pm\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du quotient de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll ll 00 l0l\neq0 ±\pm\infty ±\pm\infty
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty 00 00 ll^\prime ±\pm\infty
limn+unvn\red{\lim\limits{n \to +\infty} \dfrac{un}{v_n}} ll\red{\dfrac l{l^\prime}} 0\red 0 FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
bannière exemple

Exemple

Soit la suite définie par un=23n+5u_n = \dfrac 2{3n+5} pour tout entier naturel nn.

Calculons les limites suivantes :

  • limn+2=2\lim\limits_{n \to +\infty} 2= 2
  • limn+3n+5=+\lim\limits_{n \to +\infty} 3n+5 = +\infty
  • Par quotient : limn+23n+5=0\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac 2{3n+5}= 0
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À retenir

Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :

  • il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.
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Exemple

Soit la suite définie par un=3n2n5u_n = 3n^2-n-5 pour tout entier naturel nn.

Calculons les limites suivantes :

  • limn+3n2=+\lim\limits_{n \to +\infty} 3n^2 = +\infty
  • limn+n5=\lim\limits_{n \to +\infty} -n- 5 = -\infty
  • Il s’agit donc d’une forme indéterminée \infty - \infty.
  • On factorise par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire n2n^2 (que l’on suppose non nul car on s’intéresse à nn grand) :

un=n2(3n2n2nn25n2)=n2(31n5n2)\begin{aligned} u_n &= n^2 \Big( \dfrac {3n^2}{n^2}-\dfrac n{n^2}-\dfrac 5{n^2} \Big) \ &= n^2 \Big(3-\dfrac 1n - \dfrac 5{n^2} \Big) \end{aligned}

  • On calcule les limites des termes :
  • limn+n2=+\lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty
  • limn+(31n5n2)=3\lim\limits{n \to +\infty} \Big(3- \dfrac 1n -\dfrac 5 {n^2}\Big) = 3, car limn+1n=limn+5n2=0\lim\limits{n \to +\infty} \dfrac 1n = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac 5{n^2}=0
  • Donc, par produit : limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un= +\infty
bannière exemple

Exemple

Soit la suite définie par un=3n+52n+7u_n = \dfrac {3n+5}{-2n+7} pour tout entier naturel n4n \geq 4.

Calculons les limites suivantes :

  • limn+3n+5=+\lim\limits_{n \to +\infty} 3n+5 = +\infty
  • limn+2n+7=\lim\limits_{n \to +\infty} - 2n+7 = -\infty
  • Il s’agit d’une forme indéterminée \dfrac \infty \infty.

Levons maintenant l’indétermination.

  • On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire nn :

un=n(3+5n)n(2+7n)=3+5n2+7n\begin{aligned} u_n &= \dfrac{n(3+\frac 5n)}{n(- 2+\frac 7n)} \ &= \dfrac{3+\frac 5n} {-2+\frac 7n} \end{aligned}

  • On calcule les limites du numérateur et du dénominateur.

On calcule d’abord  : limn+5n=limn+7n=0\lim\limits{n \to +\infty} \dfrac 5n = \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac 7n =0

Ainsi :

  • limn+3+5n=3\lim\limits_{n \to +\infty} 3+\dfrac 5n=3
  • limn+2+7n=2\lim\limits_{n \to +\infty} -2+\dfrac 7n = -2
  • Par quotient : limn+un=32\lim\limits{n \to +\infty} un= -\dfrac 32
bannière astuce

Astuce

D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut passer l’étape de la factorisation et ne garder que le terme de plus haut degré.

bannière exemple

Exemple

Appliquons cette astuce sur un exemple simple :

limn+2n2+1n2+n=limn+2n2n2=limn+2=2\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac {2n^2+1}{n^2+n}&= \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac {2n^2}{n^2} \ &=\lim\limits_{n \to +\infty} 2 \ &= 2 \end{aligned}

Limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle

Dans cette dernière partie, nous allons utiliser les suites pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle, qui a été vue en première.
Nous rejoignons ainsi la notion de limites de fonction, que nous traiterons dans le prochain cours.

bannière rappel

Rappel

La fonction exponentielle est définie et strictement croissante sur l’ensemble des nombres réels.

Donnons ses limites aux bornes de son ensemble de définition, soit en -\infty et en ++\infty.

bannière theoreme

Théorème

  • limx+ex=+\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x = +\infty
  • limxex=0\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0

Nous allons démontrer ces égalités en passant par les suites.

  • Calculer la limite d’une fonction en ++\infty revient à calculer la limite de la suite associée en ++\infty.
bannière demonstration

Démonstration

  • Nous cherchons la limite en ++\infty de la fonction exponentielle.

limx+ex=limn+en\lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^x = \lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^n

La suite (en)(\text{e}^n) est une suite géométrique de raison e2,718>1\text{e}\approx 2,718 > 1.

  • Elle diverge donc vers ++\infty.

D’où :

limx+ex=limn+en=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^n \ &= +\infty \end{aligned}

  • Nous cherchons maintenant la limite en -\infty de la fonction exponentielle.

En posant X=xX = -x, on a : quand xx tend vers -\infty, XX tend vers ++\infty.
Par ailleurs, on se souvient de la propriété : exy=(ex)y\text{e}^{xy}={(e^x)}^y.

On obtient :

limxex=limx+ex=limn+en=limn+(e1)n=limn+(1e)n\begin{aligned} \lim\limits{x \to -\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \ &=\lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^{-n} \ &=\lim\limits{n \to +\infty} {\big(\text{e}^{-1}\big)}^n \ &=\lim\limits_{n \to +\infty} \Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n \end{aligned}

La suite ((1e)n)\bigg(\Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n\bigg) est une suite géométrique de raison 0<1e0,37<10<\dfrac 1{\text e}\approx 0,37 <1.

  • Elle converge donc vers 00.

D’où, enfin :

limxex=limn+(1e)n=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to -\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{n \to +\infty} \Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n \ &=0 \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu la définition d’une limite de suite quand elle existe, puis des théorèmes permettant de déterminer cette limite.
Nous avons ensuite vu les propriétés des opérations sur les limites et avons utilisé les limites de suites pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle.

Cette dernière partie nous a permis de faire un lien entre limites de suites et limites de fonctions. Nous allons étudier ces dernières dans le prochain cours.