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Limites de suites
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Introduction :
Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque les termes de la suite deviennent de plus en plus grands.
Nous allons étudier en particulier deux cas :
Nous verrons ensuite les théorèmes qui permettent de déterminer une limite de suite. Enfin, nous utiliserons les limites de suite pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle.
Définition de la limite d’une suite
Limite finie
Regardons la représentation suivante d’une suite, avec les termes placés sur un axe gradué :
On peut constater que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle . Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur de cet intervalle.
Limite finie :
Dire qu’un réel est limite d’une suite signifie que tout intervalle ouvert de centre contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit que la suite est convergente de limite , ou que la suite converge vers .
Donnons les limites de quelques suites de référence :
Limite infinie
Regardons maintenant la représentation suivante d’une autre suite :
On constate cette fois-ci que, sur l’axe des ordonnées, tous les termes de la suite, à partir de l’indice , appartiennent à l’intervalle ouvert .
Suite divergeant vers :
Dire qu’une suite a pour limite signifie que tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que est divergente ou que diverge vers .
Donnons quelques limites de suites de référence :
Étudions cette fois la représentation graphique suivante :
Suite divergeant vers :
Dire qu’une suite a pour limite signifie que tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que est divergente ou que diverge vers .
La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
La suite définie par alterne entre les valeurs et , selon la parité de l’entier :
Théorèmes sur les limites d’une suite
Nous venons de définir la notion de limite. Voyons maintenant des moyens efficaces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite :
Commençons par faire un rappel de vocabulaire.
Suite majorée, minorée et bornée :
Limite et comparaison
Dans certains cas, comparer deux suites, si l’on connaît la divergence de l’une, permet de déduire la divergence de l’autre.
Théorème de comparaison des limites :
Soit et deux suites.
Démontrons le premier point, c’est-à-dire la divergence vers d’une suite minorée par une suite divergeant vers .
On sait que, pour un entier naturel , on a : .
On a aussi : .
Soit un réel .
Il existe donc un rang (entier naturel) tel que, pour tout entier naturel :
En considérant l’entier naturel , plus grande valeur entre et , on a, pour tout entier naturel :
et
D’où : pour tout entier naturel .
Autrement dit, pour tout réel , il existe un rang tel que pour tout entier naturel .
Le théorème des gendarmes
Le théorème des gendarmes permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où elle est encadrée par deux autres suites.
Pour utiliser une image simple, imaginez deux gendarmes encadrant un suspect.
Théorème des gendarmes :
On considère trois suites , et . Si :
Les suites , et , avec , sont représentées ci-dessous.
Les suites et () convergent vers le réel .
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite définie par :
Pour pouvoir utiliser le théorème des gendarmes, il faut encadrer la suite . Pour cela on doit écrire des inégalités.
Pour tout : | |
On ajoute à chaque membre : | |
On divise tout par () : | |
Ce qui équivaut à : | |
Or, , donc : | |
Et donc, d’après le théorème des gendarmes : |
Suites géométriques , réel
En classe de première, nous avions vu le théorème de la limite de .
Rappelons-le ici. Nous démontrerons ensuite l’une des limites données.
Théorème de la limite de :
Soit un nombre réel.
On a alors les limites suivantes :
Démontrons que, si , alors : .
Nous allons utiliser la formule de Bernoulli démontrée dans le cours précédent, sur le raisonnement par récurrence :
Soit .
Il existe un réel tel que .
D’après l’inégalité de Bernoulli, on a, pour tout entier naturel :
, donc : .
D’après le théorème de comparaison des limites, on obtient :
Appliquons le théorème de la limite de sur quelques suites.
Théorème de convergence des suites monotones
Dans certains cas, on peut déduire de la monotonie d’une suite sa convergence ou sa divergence.
De ce premier théorème découle un deuxième.
Enfin, nous pouvons donner une autre conséquence.
Par exemple, démontrons qu’une suite croissante non majorée a pour limite .
Soit un réel .
La suite n’est pas majorée. En particulier, n’est pas majorée par .
La suite est croissante. Pour tout , , puis .
Opérations sur les limites
La partie précédente nous a donné des théorèmes qui nous permettent de calculer, dans certains cas, la limite d’une suite. Regardons maintenant les règles opératoires qui s’appliquent aux limites.
Lorsque deux suites et ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite :
Nous allons donner ci-dessous les tableaux des règles opératoires : on peut les retrouver facilement, par exemple en se disant que, pour la somme, l’infini l’« emporte » sur le fini, ou que multiplié par donne .
Toutefois, il existe des cas où il n’y a pas de règle générale (par exemple, dans une multiplication, qui de ou de l’infini l’« emporte » ?).
Nous découvrirons, un peu plus loin, comment « lever » ces indéterminations.
Limites de la somme de deux suites
Limites du produit de deux suites
ou | |||
Limites du quotient de deux suites
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Soit la suite définie par pour tout entier naturel .
Calculons les limites suivantes :
Levons maintenant l’indétermination.
On calcule d’abord :
Ainsi :
D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut passer l’étape de la factorisation et ne garder que le terme de plus haut degré.
Appliquons cette astuce sur un exemple simple :
Limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle
Dans cette dernière partie, nous allons utiliser les suites pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle, qui a été vue en première.
Nous rejoignons ainsi la notion de limites de fonction, que nous traiterons dans le prochain cours.
La fonction exponentielle est définie et strictement croissante sur l’ensemble des nombres réels.
Donnons ses limites aux bornes de son ensemble de définition, soit en et en .
Nous allons démontrer ces égalités en passant par les suites.
La suite est une suite géométrique de raison .
D’où :
En posant , on a : quand tend vers , tend vers .
Par ailleurs, on se souvient de la propriété : .
On obtient :
La suite est une suite géométrique de raison .
D’où, enfin :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu la définition d’une limite de suite quand elle existe, puis des théorèmes permettant de déterminer cette limite.
Nous avons ensuite vu les propriétés des opérations sur les limites et avons utilisé les limites de suites pour déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle.
Cette dernière partie nous a permis de faire un lien entre limites de suites et limites de fonctions. Nous allons étudier ces dernières dans le prochain cours.