Limites de suites
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪
Définition de la limite d’une suite
Définition de la limite d’une suite
- Limite finie :
- Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $(u_n)$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $$
- On dit que la suite $(u_n)$ est convergente de limite $l$, ou que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
- Suite divergeant vers $+\infty$ :
- Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $[A\ ; +\infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$
- On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
- Suite divergeant vers $-\infty$ :
- Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty\ ;\,A]$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$$
- On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
- Théorème :
La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Attention
Une suite n’a pas nécessairement de limite.
Théorèmes sur les limites d’une suite
Théorèmes sur les limites d’une suite
- Suite majorée, minorée et bornée :
- Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$.
- $M$ est appelé le majorant de $(u_n)$.
- Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$.
- $m$ est appelé le minorant de $(u_n)$.
- Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
- Théorème de comparaison des limites : soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.
- Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
- alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$
- Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$
- alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
- Théorème des gendarmes : on considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si :
- pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $n_0$, $v_n \leq u_n \leq w_n$,
- les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$,
- alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
- Théorème de la limite des suites géométriques $(q^n)$ :
- Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :
- si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty$
- si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$
- si $q \leq - 1$ alors la suite $(q^n)$ n’admet pas de limite.
- Théorème de convergence des suites monotones :
- Toute suite croissante majorée est convergente.
- Toute suite décroissante minorée est convergente.
- Du précédent théorème découle un deuxième :
- Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.
- Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$.
- Conséquences du théorème de convergence des suites monotones :
- Si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq l$.
- Si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq l$.
Opérations sur les limites
Opérations sur les limites
Tableaux récapitulatifs des règles opératoires sur les limites de suites :
Limites de la somme de deux suites
| $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ | $l$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ | $l^\prime$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n+v_n}$ | $\red{l+l^\prime}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
Limites du produit de deux suites
| $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ | $l$ | $l\neq0$ ou $\pm\infty$ | $0$ |
| $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ | $l^\prime$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ |
| $\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n}$ | $\red{ l\times l^\prime}$ | $\red {\pm\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
Limites du quotient de deux suites
| $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ | $l$ | $l$ | $0$ | $l\neq0$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ |
| $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ | $l^\prime\neq0$ | $\pm\infty$ | $0$ | $0$ | $l^\prime$ | $\pm\infty$ |
| $\red{\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}}$ | $\red{\dfrac l{l^\prime}}$ | $\red 0$ | $\red{\text{FI}}$ | $\red{\pm\infty}$ | $\red{\pm\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
- Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
- Il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.
Astuce
D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut passer l’étape de la factorisation et ne garder que le terme de plus haut degré.