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Limites de suites

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Définition de la limite d’une suite

  • Limite finie :
  • Dire qu’un réel ll est limite d’une suite (un)(un) signifie que tout intervalle ouvert de centre ll contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : limn+un=l\lim\limits{n \to +\infty} u_n = l
  • On dit que la suite (un)(un) est convergente de limite ll, ou que la suite (un)(un) converge vers ll.
  • Suite divergeant vers ++\infty :
  • Dire qu’une suite (un)(un) a pour limite ++\infty signifie que tout intervalle de la forme [A ;+[[A\ ; +\infty [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} u_n = +\infty
  • On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers ++\infty.
  • Suite divergeant vers -\infty :
  • Dire qu’une suite (un)(un) a pour limite -\infty signifie que tout intervalle de la forme ] ;A]]-\infty\ ;\,A] contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} u_n = -\infty
  • On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers -\infty.
  • Théorème :

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

bannière attention

Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Théorèmes sur les limites d’une suite 

  • Suite majorée, minorée et bornée :
  • Une suite (un)(un) est majorée s’il existe un nombre MM tel que, pour tout entier naturel nn, unMun \leq M.
  • MM est appelé le majorant de (un)(u_n).
  • Une suite (un)(un) est minorée s’il existe un nombre mm tel que, pour tout entier naturel nn, unmun \geq m.
  • mm est appelé le minorant de (un)(u_n).
  • Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
  • Théorème de comparaison des limites : soit (un)(un) et (vn)(vn) deux suites.
  • Si, pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n0 : unvnun \leq vn et limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} u_n = +\infty
  • alors : limn+vn=+\lim\limits{n \to +\infty} vn = +\infty
  • Si, pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n0 : unvnun \leq vn et limn+vn=\lim\limits{n \to +\infty} v_n = -\infty
  • alors : limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un = -\infty
  • Théorème des gendarmes : on considère trois suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(w_n). Si :
  • pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel n0n0, vnunwnvn \leq un \leq wn,
  • les suites (vn)(vn) et (wn)(wn) convergent vers la même limite ll,
  • alors la suite (un)(u_n) converge vers ll.
  • Théorème de la limite des suites géométriques (qn)(q^n) :
  • Soit qq un nombre réel. On a alors les limites suivantes :
  • si q>1q>1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty
  • si 1<q<1-1 < q < 1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0
  • si q1q \leq - 1 alors la suite (qn)(q^n) n’admet pas de limite.
  • Théorème de convergence des suites monotones :
  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • Du précédent théorème découle un deuxième :
  • Toute suite croissante non majorée a pour limite ++\infty.
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite -\infty.
  • Conséquences du théorème de convergence des suites monotones :
  • Si une suite (un)(un) est croissante et admet pour limite ll, alors, pour tout entier naturel nn, unlun \leq l.
  • Si une suite (un)(un) est décroissante et admet pour limite ll, alors, pour tout entier naturel nn, unlun \geq l.

Opérations sur les limites

Tableaux récapitulatifs des règles opératoires sur les limites de suites :

Limites de la somme de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limn+un+vn\red{\lim\limits{n \to +\infty} un+v_n} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du produit de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll l0l\neq0 ou ±\pm\infty 00
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn ll^\prime ±\pm\infty ±\pm\infty
limn+un×vn\red{\lim\limits{n \to +\infty} un\times v_n} l×l\red{ l\times l^\prime} ±\red {\pm\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du quotient de deux suites

limn+un\lim\limits{n \to +\infty} un ll ll 00 l0l\neq0 ±\pm\infty ±\pm\infty
limn+vn\lim\limits{n \to +\infty} vn l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty 00 00 ll^\prime ±\pm\infty
limn+unvn\red{\lim\limits{n \to +\infty} \dfrac{un}{v_n}} ll\red{\dfrac l{l^\prime}} 0\red 0 FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
  • Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
  • Il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.
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Astuce

D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut passer l’étape de la factorisation et ne garder que le terme de plus haut degré.