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Programme Lycée TleCours MathématiquesSemaine 3 - SuitesFiche de révision : Semaine 3 - SuitesFiche de révision Semaine 3 - Suites
Raisonnement par récurrence
Principe général
Définition
Pour démontrer par récurrence qu'une proposition $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à un entier naturel $n_0$ fixé, on procède en trois étapes.
Avant de commencer, on note $P_n$ la proposition que l'on va démontrer.
À retenir
Les trois étapes du raisonnement par récurrence :
- Initialisation : on vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
- Hérédité : on suppose $P_k$ vraie pour un entier $k \geq n_0$ (hypothèse de récurrence), puis on démontre que $P_{k+1}$ est vraie.
- Conclusion : on conclut que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$.
Les trois étapes en détail
Définition
① Initialisation
On vérifie que $P_{n_0}$ est vraie, c'est-à-dire que la proposition est vraie pour le premier indice $n_0$.
→ On dit qu'on a initialisé la récurrence.
Définition
② Hérédité
On suppose que, pour un entier naturel quelconque $k \geq n_0$, $P_k$ est vraie.
Sous cette hypothèse de récurrence, on démontre que la proposition $P_{k+1}$ est vraie.
→ On a ainsi prouvé que l'hypothèse de récurrence « $P_k$ vraie » est héréditaire.
Définition
③ Conclusion
Lorsque les deux premières étapes ont été réalisées, on conclut :
→ Par récurrence, la proposition $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$.
Attention
Vérifier que la proposition est vraie pour quelques valeurs de $n$ ne suffit pas à démontrer qu'elle est vraie pour tout $n$. Le raisonnement par récurrence est indispensable pour conclure sur l'ensemble des entiers naturels.
Exemple — suite et récurrence
Exemple
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}$.
Montrons par récurrence que : $$P_n : 0 < u_n \leq u_{n+1}$$
① Initialisation
$$u_0 = 1 \qquad u_1 = \sqrt{u_0 + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$
On a bien $0 < 1 < \sqrt{2}$, donc $0 < u_0 \leq u_1$ : la proposition $P_0$ est vraie.
② Hérédité
Supposons $P_k$ vraie pour un certain entier naturel $k$, c'est-à-dire $0 < u_k \leq u_{k+1}$.
On ajoute $1$ aux inégalités : $1 < u_k + 1 \leq u_{k+1} + 1$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc : $$\sqrt{1} < \sqrt{u_k+1} \leq \sqrt{u_{k+1}+1} \quad \text{soit} \quad 0 < 1 < u_{k+1} \leq u_{k+2}$$
→ La propriété $P_{k+1}$ est donc vraie.
③ Conclusion
Par récurrence, $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante et à termes strictement positifs.
Inégalité de Bernoulli
Propriété
Pour tout réel $x > 0$ et tout entier naturel $n$ : $$(1+x)^n \geq 1 + nx$$
À retenir
Cette inégalité se démontre par récurrence et est utilisée notamment pour établir la limite des suites géométriques de raison $q > 1$.
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Limites de suites
Définition de la limite d'une suite
Définition
Limite finie
Dire qu'un réel $l$ est limite d'une suite $(u_n)$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$$
→ On dit que la suite $(u_n)$ est convergente de limite $l$, ou que $(u_n)$ converge vers $l$.
Définition
Suite divergeant vers $+\infty$
Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$
→ On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
Définition
Suite divergeant vers $-\infty$
Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty\,;\,A]$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$$
→ On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
Attention
La limite d'une suite, si elle existe, est unique.
Une suite n'a pas nécessairement de limite.
Suites majorées, minorées, bornées
Définition
- Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n \leq M$.
- Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n \geq m$.
- Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
Théorèmes de comparaison
Propriété
Théorème de comparaison
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.
- Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain rang : $u_n \leq v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
- Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain rang : $u_n \leq v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Propriété
Théorème des gendarmes
On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si :
- pour tout entier naturel supérieur à un certain rang : $v_n \leq u_n \leq w_n$,
- les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$,
→ alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
À retenir
Pour utiliser une image simple : imaginez deux gendarmes encadrant un suspect. Si les deux gendarmes vont dans la même direction, le suspect ne peut qu'aller dans cette direction !
Limite des suites géométriques
Propriété
Soit $q$ un nombre réel. On a les limites suivantes :
- Si $q > 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
- Si $-1 < q < 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
- Si $q \leq -1$, alors la suite $(q^n)$ n'admet pas de limite.
Théorèmes de convergence monotone
Propriété
- Toute suite croissante majorée est convergente.
- Toute suite décroissante minorée est convergente.
- Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.
- Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$.
Propriété
Conséquences
- Si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors pour tout entier naturel $n$ : $u_n \leq l$.
- Si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors pour tout entier naturel $n$ : $u_n \geq l$.
Opérations sur les limites
À retenir
Formes indéterminées (FI)
Certaines combinaisons de limites ne permettent pas de conclure directement : on parle de forme indéterminée.
Les principales formes indéterminées sont : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
→ Il faut alors lever l'indétermination en transformant l'expression, le plus souvent en factorisant par le terme de plus haut degré.
À retenir
Limites de la somme $u_n + v_n$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$ |
$l$ |
$l'$ |
$l+l'$ |
$l$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$l$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
FI |
À retenir
Limites du produit $u_n \times v_n$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_n \times v_n)$ |
$l$ |
$l'$ |
$l \times l'$ |
$l \neq 0$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
FI |
À retenir
Limites du quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n$ |
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}$ |
$l$ |
$l' \neq 0$ |
$\dfrac{l}{l'}$ |
$l$ |
$\pm\infty$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
$l$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
FI |
$0$ |
$0$ |
FI |
Astuce
Pour lever une forme indéterminée, factoriser par le terme de plus haut degré.
D'une manière générale, pour la limite d'un polynôme ou d'un quotient de polynômes, on peut directement ne garder que le terme de plus haut degré.
Exemple
Pour déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - 4}$, on factorise par $n^2$ :
$$\frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - 4} = \frac{n^2!\left(3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2!\left(5 - \dfrac{4}{n^2}\right)} = \frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{5 - \dfrac{4}{n^2}}$$
Quand $n \to +\infty$, les termes en $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n^2}$ tendent vers $0$, donc : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - 4} = \frac{3}{5}$$
Astuce
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Consulte le cours :
🎯 À maîtriser pour le bac
- Identifier et rédiger les trois étapes d'un raisonnement par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
- Utiliser correctement l'hypothèse de récurrence dans l'étape d'hérédité.
- Connaître et appliquer l'inégalité de Bernoulli.
- Définir et distinguer limite finie, divergence vers $+\infty$ et divergence vers $-\infty$.
- Connaître le théorème des gendarmes et savoir l'appliquer.
- Connaître les limites des suites géométriques $(q^n)$ selon les valeurs de $q$.
- Appliquer les théorèmes de convergence des suites monotones bornées.
- Utiliser les tableaux des règles opératoires sur les limites.
- Identifier et lever une forme indéterminée par factorisation par le terme de plus haut degré.