Transformations

Symétrie axiale (rappels)

Symétrique d'un point par rapport à une droite

• Le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ est le point $A^{\prime}$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[AA^{\prime}]$ :
• $(d)$ coupe $[AA^{\prime}]$ en son milieu ;
• $(d)$ est perpendiculaire à $(AA^{\prime})$.
• Si $A\in(d)$, alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.

Symétrique d'une figure par rapport à une droite

• Le symétrique d'une figure $\mathcal F$ par rapport à $(d)$ s'obtient en construisant le symétrique de chaque point de $\mathcal F$ ; $(d)$ est l'axe de symétrie.
• Deux figures symétriques par rapport à une droite sont superposables par pliage selon cette droite.
• La symétrie axiale conserve : les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme.

Axe de symétrie d'une figure

• Une droite est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à cette droite est la figure elle-même.
• Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.

La symétrie centrale ou demi-tour

Symétrique d'un point par rapport à un point

• Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est le point $A^{\prime}$ obtenu par une rotation de $180\degree$ autour de $O$.
• L'image de $O$ par la symétrie de centre $O$ est $O$ lui-même.
• Si $O$ est le milieu de $[AB]$, alors $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $O$.
• Méthode de construction du symétrique $F^{\prime}$ de $F$ par rapport à $O$ :
• tracer la droite $(FO)$ ;
• reporter la distance $OF$ de l'autre côté de $O$ sur cette droite ;
• on obtient $F^{\prime}$.

Symétrique d'une figure par rapport à un point

• Le symétrique d'une figure $\mathcal F$ par rapport à $O$ s'obtient en construisant le symétrique de chaque point ; $O$ est le centre de symétrie.
• Deux figures symétriques par rapport à un point sont superposables en effectuant un demi-tour (rotation de $180\degree$) autour de ce point.
• La symétrie centrale conserve :
• les longueurs ;
• les angles ;
• les périmètres et les aires ;
• l'alignement ;
• l'image d'une droite est une droite parallèle à la droite initiale ;
• l'image d'un cercle est un cercle de même rayon (le centre image est le symétrique du centre initial).

Application

• On peut combiner symétries axiale et centrale successivement pour créer plusieurs figures images.
• Grâce à la conservation des aires, des figures obtenues par symétrie(s) successive(s) ont toutes la même aire que la figure de départ.
• En répétant des symétries, on peut créer une frise mathématique (motif répété à l'infini).

Centre de symétrie d'une figure

• Un point est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à ce point est la figure elle-même.
• Une figure peut avoir un centre de symétrie et plusieurs axes de symétrie en même temps (ex. : la croix de pharmacie a 1 centre de symétrie et 4 axes de symétrie).