Cours : Symétrie centrale et axiale

Symétrie axiale

Définition

Symétrie axiale :

Symétrie qui se construit par rapport à un axe (une droite).

Deux figures $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ si elles se superposent par pliage le long de cette droite.

Symétrique d'un point par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique $M'$ d'un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ :

• on trace une droite $(d)$ et on place un point $M$ n'importe où à côté de la droite ;
• on place le projeté orthogonal $O$ du point $M$ sur $(d)$ et on trace la droite $(OM)$ ;
• on reporte la distance $OM$ de l'autre côté de la droite $(d)$. On trouve ainsi le point $M'$.

À retenir

Pour prouver que deux points sont symétriques par rapport à une droite $(d)$, il suffit de montrer qu'ils sont à équidistance de la droite et qu'ils se situent sur une même droite perpendiculaire à $(d)$.

Symétrique d'une figure par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique $A'B'C'D'$ d'une figure $ABCD$ par rapport à une droite $(d)$ :

• il faut tracer le symétrique de chaque point par rapport à $(d)$ ;
• on relie ensuite chacun des points pour constituer ainsi $A'B'C'D'$.

Conservation des longueurs et des angles

Dans la figure ci-dessus, on peut constater que la symétrie axiale conserve les distances entre les points, autrement dit les longueurs des segments.

On a :

• $AB = A'B'$
• $BC = B'C'$
• $CD = C'D'$
• $DA = D'A'$

La symétrie axiale conserve la mesure des angles.

On a donc :

• $\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$
• $\widehat{BCD}=\widehat{B'C'D'}$
• $\widehat{CDA}=\widehat{C'D'A'}$
• $\widehat{DAC}=\widehat{D'A'C'}$

De ces deux constats, il en découle la propriété suivante.

Propriété

La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles d'une figure. Autrement dit, elle conserve les propriétés particulières de chaque figure.

Conservation de l'aire et du périmètre

Par ailleurs, si on conserve les longueurs ainsi, on peut vérifier avec les formules adaptées qu'on conserve également le périmètre et l'aire. En effet, les variables des formules de périmètre et d'aire sont les longueurs, donc des polygones de longueurs identiques auront la même aire et le même périmètre.

Exemple

• Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 7 \text{ cm}$ et $BC = 3 \text{ cm}$

Le périmètre est :

$\begin{aligned}P &= 2 \times (L + l)\\ P&= 2 \times (7 + 3)\\ P&= 2 \times 10\\ P&=20\ \text{cm}\end{aligned}$

L'aire est :

$\begin{aligned}A &= L \times l\\ A&= 7 \times 3\\ A&= 21\ \text{cm}^2\end{aligned}$

• Soit un deuxième rectangle $EFGH$ tel que $EF = 7 \text{ cm}$ et $FG = 3 \text{ cm}$

Le périmètre est :
$\begin{aligned}P &= 2 \times (L + l)\\ P&= 2 \times (7 + 3)\\ P&= 2 \times 10\\ P&=20\ \text{cm}\end{aligned}$

L'aire est :
$\begin{aligned}A &= L \times l\\ A&= 7 \times 3\\ A&= 21\ \text{cm}^2\end{aligned}$

• On a deux figures ayant des mesures identiques, on constate qu'elles ont le même périmètre ainsi que la même aire.

Conservation de l'alignement des points

De même, dans une figure, si on conserve les angles, alors on conserve l'alignement des points.

En effet, si $A$, $B$ et $C$ sont trois points alignés, alors l'angle $\widehat{ABC}=180\degree$.
Si on effectue la symétrie de ses trois points ainsi transformés en $A'$, $B'$, et $C'$, l'angle $\widehat{A'B'C'}$ sera conservé et mesurera $180\degree$.

• $A'$, $B'$ et $C'$ seront donc alignés.

Comme la symétrie axiale conserve les propriétés géométriques particulières à chacune des figures, il est possible de tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite.
Pour cela, il suffit de commencer par tracer les symétriques de $A$ et $B$ puis de se servir des propriétés géométriques de la figure pour compléter la construction.

Certaines figures possèdent un ou plusieurs axes de symétrie. Cela signifie que si on plie la figure selon un axe, les deux parties se superposent parfaitement.
Le triangle isocèle, le triangle équilatéral, le rectangle, le carré, le losange et le cercle possèdent au moins un axe de symétrie.

Les axes de symétries dans les différentes figures géométriques

Pour déterminer les axes de symétrie de chacune des figures, on peut tracer les droites particulières de celles-ci.

Le triangle isocèle

La hauteur issue du sommet opposé à la base est l'axe de symétrie du triangle isocèle.

• Le triangle isocèle possède donc un axe de symétrie.

Rappel

La base d'un triangle isocèle est le côté ayant une mesure différente des deux autres.

Le triangle équilatéral

Les hauteurs du triangle sont les axes de symétrie du triangle équilatéral.

• Le triangle équilatéral possède donc trois axes de symétrie.

Le rectangle

Les médiatrices des côtés sont les axes de symétrie du rectangle.

• Le rectangle possède donc deux axes de symétrie.

Le carré

Les médiatrices ainsi que les diagonales sont les axes de symétrie du carré.

• Le carré possède donc quatre axes de symétrie.

Le losange

Les diagonales sont les axes de symétrie du losange.

• Le losange possède donc deux axes de symétrie.

Le cercle

Le diamètre est l'axe de symétrie du cercle.

• Le cercle possède une infinité de diamètres, il a donc une infinité d'axes de symétrie.

Nous allons à présent nous intéresser à la notion de symétrie centrale.

La symétrie centrale

Définition

Symétrie centrale :

Symétrie qui se construit par rapport à un point.

À retenir

Deux figures sont symétriques par rapport à un point $O$ si elles sont superposables en effectuant une rotation de centre $O$.

Symétrique d'un point par rapport à un point

Pour tracer le symétrique $F'$ d'un point $F$ par rapport à un point $O$ :

• il faut tracer la droite $(FO)$ ;
• on reporte ensuite la distance $OF$ sur la droite $(OF)$ de l'autre côté du point $O$ ;
• on trouve ainsi le point $F'$.

À retenir

On dit ainsi que :

• $F'$ est l'image de $F$ par la symétrie de centre $O$ ;
• $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$.

Propriété

Le centre de symétrie de deux points est le milieu du segment formé par ses deux points.

Symétrique d'une figure par rapport à un point

Pour tracer le symétrique d'une figure par rapport à un centre $O$, on fait le symétrique de chaque point par rapport à $O$.

Activités

• On trace un segment $[A'B']$ symétrique du segment $[AB]$ par rapport à $O$ ;
• on trace les segments $[AA']$ et $[BB']$.

On constate que les segments $[AA']$ et $[BB']$ se coupent en leur milieu et que $AB = A'B'$.

On trace les segments $[AB']$ et $[BA']$.

On constate que la figure $AB'A'B$ a deux côtés opposés égaux et des diagonales qui se coupent en leur milieu.

$AB'A'B$ est donc un parallélogramme et $[AB]$ et $[A'B']$ sont parallèles.

• Ici, le symétrique d'un segment par rapport à un point $O$ est un autre segment parallèle. Il en sera de même avec deux droites quelconques.
• On trace un angle $\widehat{ABC}$ de $30\degree$ ;
• on place un point $O$ ;
• on trace le symétrique $\widehat{A'B'C'}$ de $\widehat{ABC}$ par rapport à O.

Si on mesure l'angle $\widehat{A'B'C'}$, on constate qu'il est égal à $\widehat{ABC}$.

• La symétrie centrale conserve donc les angles.

De ces deux activités, on déduit la propriété suivante.

Propriété

Par une symétrie centrale :

• l'image d'une droite est une droite parallèle ;
• l'image d'un angle est un angle de même mesure.

Comme la symétrie centrale conserve les propriétés géométriques de chacune des figures, il est possible de tracer les symétriques de $A$ et $B$ par rapport à un point, puis de se servir des propriétés de la figure pour la compléter.