Fiche de révision : Utilisation des nombres complexes en géométrie

Applications géométriques

• Considérons le plan complexe muni du repère orthonormal $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$ et deux points $A$ et $B$, d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$, et un troisième point $M$, d’affixe $z$.
• L’ensemble des points $M$ tels que $\vert z-z_A\vert =\vert z-z_B\vert $ est l’ensemble des points $M$ à équidistance de $A$ et de $B$. Donc cet ensemble est la médiatrice du segment $[AB]$.
• L’ensemble des points $M$ tels que $\vert z-z_A\vert =r$, avec $r$ un réel positif, est l’ensemble des points $M$ situés à la distance $r$ du point $A$. Donc cet ensemble est le cercle de rayon $r$ et de centre $A$.
• Soit $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ les affixes respectives de quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan complexe.
• $\arg{(z_C-z_A)}=\arg{(z_B-z_A)}\,[\pi]$ si et seulement si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont colinéaires.
• $\arg{(z_D-z_C)}=\arg{(z_B-z_A)}\,[\pi]$ si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont colinéaires.
• $\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)= 0\,[\pi]$ si et seulement si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont colinéaires.
• $\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=0\,[\pi]$ si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont colinéaires.

Racines $n \text{-ièmes}$ de l’unité

• L’ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $\mathbb U$.
• L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre $O$ et de rayon $1$, appelé cercle trigonométrique.
• Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle racine $n \text{-ième}$ de l’unité un nombre complexe $z$ vérifiant : $z^n=1$.
• On note $\mathbb U_n$ l’ensemble des racines $n \text{-ièmes}$ de l’unité.
• L’équation $z^n=1$ admet exactement $n$ solutions distinctes ($n \in \mathbb N^*$).
• Ces solutions sont :

$$\mathbb U_n=\lbrace \text{e}^{\text{i}\frac{2k \pi}{n}}\ ;\, k\in \mathbb N, 0\leq k\leq n-1\rbrace$$

• Si $n$ est un entier naturel tel que $n\geq 3$, alors les points dont les affixes sont les racines $n \text{-ièmes}$ de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique.

• Le point d’affixe $1$ appartient à tous les ensembles des racines $n \text{-ièmes}$.
• Les autres se construisent en divisant l’angle total de $2\pi$ en $n$ angles de même mesure, donc par rotations successives d’angle $\frac{2 \pi }{n}$ et de centre $O$.