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Utilisation des nombres complexes en géométrie

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Introduction :

Ce cours clôt les chapitres sur les complexes en se concentrant sur leurs applications en géométrie.
Nous utiliserons principalement l’écriture exponentielle des nombres complexes et nous ferons aussi appel aux connaissances des propriétés géométriques de la géométrie plane.

Applications géométriques

Considérons le plan complexe muni du repère orthonormal (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}) et deux points AA et BB, d’affixes respectives zAzA et zBzB, et un troisième point MM, d’affixe zz.
Nous allons voir ce que nous pouvons déduire des affixes des trois points.

Égalité de module

On rappelle que :

  • l’affixe du vecteur AB \overrightarrow{AB\ } est zAB =zBzAz{\overrightarrow{AB\ }}=zB-z_A ;
  • l’affixe du vecteur AM \overrightarrow{AM\ } est zAM =zzAz{\overrightarrow{AM\ }}=z-zA ;
  • l’affixe du vecteur BM \overrightarrow{BM\ } est zBM =zzBz{\overrightarrow{BM\ }}=z-zB .

Intéressons-nous aux modules de ces deux vecteurs :

zzA=AMzzB=BM\begin{aligned} \vert z-zA\vert&=AM \ \vert z-zB\vert &=BM \end{aligned}

  • Si zzA=zzB\vert z-zA\vert =\vert z-zB\vert, alors AM=BMAM=BM.

Nous en déduisons aisément les propriétés suivantes.

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Propriété

L’ensemble des points MM tels que zzA=zzB\vert z-zA\vert =\vert z-zB\vert est l’ensemble des points MM à équidistance de AA et de BB.

  • Donc cet ensemble est la médiatrice du segment [AB][AB].
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Exemple

On cherche l’ensemble des points MM d’affixe zz tels que z+12i=z+3\vert z+1-2 \text{i}\vert =\vert z+3\vert . Ce qui est équivalent à :

z(1+2i)=z(3)\vert z-(-1+2 \text{i})\vert =\vert z-(-3)\vert

  • Il s’agit donc de l’ensemble des points de la médiatrice de [AB][AB] avec le point AA d’affixe zA=1+2izA=-1+2 \text{i} et le point BB d’affixe zB=3zB=-3.

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De la même façon, regardons ce que l’on peut dire de l’ensemble des points MM tels que zzA=AM=r\vert z-z_A\vert =AM=r, avec rr un réel positif.

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Propriété

L’ensemble des points MM tels que zzA=r\vert z-z_A\vert =r, avec rr un réel positif, est l’ensemble des points MM situés à la distance rr du point AA.

  • Donc cet ensemble est le cercle de rayon rr et de centre AA.
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Exemple

  • Déterminons l’ensemble des points MM d’affixe zz tels que z3+4i=4\vert z-3+4 \text{i}\vert =4.
  • Il s’agit des points du cercle de rayon 44 et de centre AA, d’affixe zA=34iz_A=3-4 \text{i}.
  • Déterminons maintenant l’ensemble des points MM^{\prime} d’affixe zz^{\prime} tels que 2iz+4=3\vert 2 \text{i}z^{\prime}+4\vert=3.

Cette équation nous fait penser à la propriété que nous venons de voir, mais elle n’est pas sous la forme que nous souhaitons. Nous allons donc la transformer :

2iz+4=32iz(4)=32iz4i2=3 [car i2=1]2i(z2i)=32i×z2i=3[car le module d’un produit est eˊgal au produit des modules]2×z2i=3 [car i=1]z2i=32\begin{aligned} \vert 2 \text{i} z^{\prime} + 4\vert =3 &\Leftrightarrow \vert 2 \text{i} z^{\prime} - (-4)\vert =3 \ &\Leftrightarrow \vert 2 \text{i} z^{\prime} -4\text{i}^2\vert =3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car i$^2=-1$]}}} \ &\Leftrightarrow \vert 2 \text{i} (z^{\prime} -2\text{i})\vert =3 \ &\Leftrightarrow \vert 2 \text{i} \vert\times \vert z^{\prime} -2\text{i}\vert =3 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car le module d’un produit est égal au produit des modules]}}} \ &\Leftrightarrow 2 \times \vert z^{\prime} -2\text{i}\vert =3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\vert$i$\vert =1$]}}} \ &\Leftrightarrow \vert z^{\prime} -2\text{i}\vert =\dfrac 32 \end{aligned}

  • Il s’agit donc des points du cercle de rayon 32\frac 32 et de centre AA^{\prime} d’affixe zA=2iz_{A^{\prime}}=2 \text{i}.

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Géométrie et arguments

Nous avons vu que le module est lié à la notion de distance ou de longueur dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, et la définition de l’argument fait référence à un angle.
Nous allons voir dans cette partie comment utiliser l’argument d’un nombre complexe en géométrie.

  • Commençons par regarder l’argument du complexe zBzAzB-zA, à l’aide d’une figure avec le point AA d’affixe zAzA et BB d’affixe zBzB.

Img-03

On sait que AB \overrightarrow{AB\ } a pour affixe zBzAzB-zA, et on considère le point MM d’affixe z=zBzAz=zB-zA.
Alors OM =AB \overrightarrow{OM\ }=\overrightarrow{AB\ } et on a la relation angulaire suivante :

(u,AB )=(u,OM )[2π](\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })=(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })\,[2\pi]

  • Autrement dit :

(u,AB )=(u,OM )[2π]=arg(zBzA)[2π]\begin{aligned} (\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })&=(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })\,[2\pi] \ &=\arg{(zB-zA)}\,[2\pi] \end{aligned}

  • Que penser maintenant de trois points AA, BB, et CC d’affixes respectives zAzA, zBzB et zCzC tels que : arg(zCzA)=arg(zBzA)[2π]\arg{(zC-zA)}=\arg{(zB-z_A)}\,[2\pi] ?

Cela signifie que : (u,AB )=(u,AC )[2π](\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })=(\vec{u},\,\overrightarrow{AC\ })\,[2\pi].

  • Donc les points AA, BB et CC sont alignés, et BB et CC sont du même côté vis-à-vis de AA.

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De même, si arg(zCzA)=arg(zBzA)+π[2π]\arg{(zC-zA)}=\arg{(zB-zA)}+\pi\,[2\pi], cela signifie que : (u,AB )=(u,AC )+π[2π](\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })=(\vec{u},\,\overrightarrow{AC\ })+\pi\,[2\pi].

  • Donc les points AA, BB et CC sont alignés et BB et CC sont de part et d’autre de AA.

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On en déduit la propriété suivante.

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Propriété

Soit zAzA, zBzB et zCzC les affixes respectives de trois points AA, BB et CC du plan complexe.
arg(zCzA)=arg(zBzA)[π]\arg{(z
C-zA)}=\arg{(zB-z_A)}\,[\pi] si et seulement si les points AA, BB et CC sont alignés et donc que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires.

  • Supposons maintenant quatre points : AA d’affixe zAzA, BB d’affixe zBzB, CC d’affixe zCzC et DD d’affixe zDzD.

Que pouvons-nous déduire si arg(zDzC)=arg(zBzA)[π]\arg{(zD-zC)}=\arg{(zB-zA)}\,[\pi] ?

Vectoriellement, nous avons donc :

(u,AB )=(u,CD )[π](\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })=(\vec{u},\,\overrightarrow{CD\ })\,[\pi]

  • Les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires, les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont donc parallèles.

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Propriété

Soit zAzA, zBzB , zCzC et zDzD les affixes respectives de quatre points AA, BB, CC et DD du plan complexe.
arg(zDzC)=arg(zBzA)[π]\arg{(zD-zC)}=\arg{(zB-zA)}\,[\pi] si et seulement si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles et donc que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires.

Considérons encore trois points : AA d’affixe zAzA, BB d’affixe zBzB et CC d’affixe zCz_C.
D’après la relation de Chasles sur les angles orientés, nous avons :

(AB ,AC )=(AB ,u)+(u,AC )[2π]=(u,AB )+(u,AC )[2π]=arg(zBzA)+arg(zCzA)[2π]=arg(zCzAzBzA)[2π] [car arg(zz)=arg(z)arg(z)]\begin{aligned} (\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })&=(\overrightarrow{AB\ },\,\vec{u})+(\vec{u},\,\overrightarrow{AC\ })\,[2\pi] \ &=-(\vec{u},\,\overrightarrow{AB\ })+(\vec{u},\,\overrightarrow{AC\ })\,[2\pi] \ &=-\arg{(zB-zA)}+\arg{(zC-zA)}\,[2\pi] \ &=\arg\left(\dfrac{zC-zA}{zB-zA}\right)[2\pi] \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\arg\left(\frac z{z^{\prime}}\right)=\arg{(z)}-\arg{(z^{\prime})}$]}}} \end{aligned}

Si les points AA, BB et CC sont alignés, alors (AB ,AC )=0[π](\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0\,[\pi]. Nous avons donc la propriété suivante.

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Propriété

Soit zAzA, zBzB et zCzC les affixes respectives de trois points AA, BB et CC du plan complexe.
arg(zCzAzBzA)=0[π]\arg\left(\frac{z
C-zA}{zB-z_A}\right)= 0\,[\pi] si et seulement si les points AA, BB et CC sont alignés et donc que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires.

De la même façon, pour quatre points : AA d’affixe zAzA, BB d’affixe zBzB, CC d’affixe zCzC et DD d’affixe zDzD, nous avons :

(AB ,CD )=arg(zBzA)+arg(zDzC)[2π]=arg(zDzCzBzA)[2π]\begin{aligned} (\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })&=-\arg{(zB-zA)}+\arg{(zD-zC)}\,[2\pi] \ &=\arg\left(\dfrac{zD-zC}{zB-zA}\right)[2\pi] \end{aligned}

Et nous avons la propriété suivante.

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Propriété

Soit zAzA, zBzB , zCzC et zDzD les affixes respectives de quatre points AA, BB, CC et DD du plan complexe.
arg(zDzCzBzA)=0[π]\arg\left(\frac{zD-zC}{zB-zA}\right)=0\,[\pi] si et seulement si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles et donc que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires.

Exemples

Nous allons maintenant prendre plusieurs exemples, pour montrer l’utilité des nombres complexes en géométrie.

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Exemple

Soit quatre points du plan :

  • AA d’affixe zA=43iz_A=-4-3 \text{i},
  • BB d’affixe zB=32iz_B=3-2 \text{i},
  • CC d’affixe zC=4+5iz_C=4+5 \text{i},
  • DD d’affixe zD=3+4iz_D=-3+4 \text{i}.
  • Que peut-on dire du quadrilatère ABCDABCD ?

Nous avons :

AB =zBzA=32i(43i)=32i+4+3i=7+iDC =zCzD=4+5i(3+4i)=7+i=AB \begin{aligned} \overrightarrow{AB\ }&=zB-zA \ &=3-2 \text{i}-(-4-3 \text{i}) \ &=3-2 \text{i}+4+3 \text{i} \ &=7+\text{i} \ \ \overrightarrow{DC\ }&=zC-zD \ &=4+5 \text{i}-(-3+4 \text{i}) \ &=7+\text{i} \ &=\overrightarrow{AB\ } \end{aligned}

  • ABCDABCD est donc un parallélogramme.
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Exemple

Soit AA, BB et CC trois points du plan complexe d’affixes respectives zA=2zA=-2, zB=1+izB=1+\text{i} et zc=13iz_c=-1-3 \text{i}.

  • On s’intéresse aux positions relatives de (AB)(AB) et (AC)(AC).

Pour cela, nous allons étudier l’angle :

(AB ,AC )=arg(zCzAzBzA)(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=\arg\left(\dfrac{zC-zA}{zB-zA}\right)

Nous avons :

zCzAzBzA=13i(2)1+i(2)=13i3+i=(13i)(3i)(3+i)(3i)[en mutipliant par le conjugueˊ du deˊnominateur]=3i9i39+1=10i10=i\begin{aligned} \dfrac{zC-zA}{zB-zA} &=\dfrac{-1-3 \text{i}-(-2)}{1+\text{i}-(-2)} \ &=\dfrac{1-3 \text{i}}{3+\text{i}} \ &=\dfrac{(1-3 \text{i})(3-\text{i})}{(3+\text{i})(3-\text{i})} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en mutipliant par le conjugué du dénominateur]}}} \ &=\dfrac{3-\text{i}-9 \text{i}-3}{9+1} \ &=\frac{-10 \text{i}}{10} \ &=-\text{i} \end{aligned}

Nous avons ainsi :

(AB ,AC )=arg(zCzAzBzA)=arg(i)=π2[2π]\begin{aligned} (\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })&=\arg\left(\dfrac{zC-zA}{zB-zA}\right) \ &=\arg{(-\text i)} \ &=-\dfrac \pi2\,[2\pi] \end{aligned}

  • (AB)(AB) et (AC)(AC) sont perpendiculaires en AA.

On peut aussi remarquer que :

ACAB=zCzAzBzA=zCzAzBzA=i=1Donc : AC=AB\begin{aligned} \dfrac {AC}{AB}&= \dfrac {\vert zC-zA\vert}{\vert zB-zA\vert} \ &=\left\vert \dfrac {zC-zA}{zB-zA} \right\vert \ &= \vert -\text{i}\vert \ &=1 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}AC&=AB \end{aligned}

  • Le triangle ABCABC est rectangle et isocèle en AA.

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Exemple

Quels sont les ensembles de points MM d’affixe zz tels que :

  • arg(z)=π3[2π]\arg{(z)}=\frac{\pi}{3}\,[2\pi] ?
  • arg(z)=π3[π]\arg{(z)}=\frac{\pi}{3}\,[\pi] ?
  • arg(z4+i)=π4[2π]\arg{(z-4+\text{i})}=-\frac{\pi}{4}\,[2\pi] ?
  • arg(z)=π3[2π]\arg{(z)}=\frac{\pi}{3}\,[2\pi] signifie que :

(u,OM )=π3[2π](\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]

  • Il s’agit de la demi-droite ouverte ]OM)]OM) (le point OO est exclu) telle que :

(u,OM )=π3(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })=\dfrac{\pi}{3}

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  • Pour arg(z)=π3[π]\arg{(z)}=\frac{\pi}{3}\,[\pi], il y a cette fois deux valeurs possibles pour l’angle géométrique, car l’argument est donné modulo π\pi, donc :

(u,OM )=π3[2π]Ou : (u,OM )=2π3[2π]\begin{aligned} (\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })&=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi] \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Ou\ :\ }}(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })&=-\dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi] \end{aligned}

  • Il s’agit de la droite (OM)(OM) privée du point OO.

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  • Enfin, pour arg(z4+i)=π4[2π]\arg{(z-4+\text{i})}=-\frac{\pi}{4}\,[2\pi], on peut définir le point AA d’affixe 4i4-\text{i}, on a alors :

arg(z4+i)=arg(zzA)=π4[2π]\arg{(z-4+\text{i})}=\arg{(z-z_A)}=-\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]

Donc zzAz-z_A est l’affixe du vecteur AM \overrightarrow{AM\ }, ce qui se traduit par :

(u,AM )=π4(\vec{u},\,\overrightarrow{AM\ })=-\dfrac{\pi}{4}

On a tracé sur la figure un représentant du vecteur u\vec{u} d’origine AA, pour placer ensuite correctement le point MM.

  • Cela correspond à la demi-droite ouverte ]AM)]AM) (le point AA est exclu).

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Racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité

Définitions et propriétés

Commençons par rappeler la définition que nous avons vue dans le cours sur les nombres complexes d’un point de vue géométrique.

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Définition

Ensemble U\mathbb U :

L’ensemble des nombres complexes de module 11 est noté U\mathbb U.
L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre OO et de rayon 11, appelé cercle trigonométrique.

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Rappel

Nous avions aussi vu que cet ensemble U\mathbb U est stable par produit et par passage à l’inverse, c’est-à-dire que, si deux nombres complexes zz et zz^{\prime} appartiennent à U\mathbb U, alors leur produit et leurs inverses appartiennent aussi à U\mathbb U.

Cette stabilité de U\mathbb U permet d’introduire la notion de racine n-ieˋmen \text{-ième} de l’unité.

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Définition

Racine n-ieˋmen \text{-ième} de l’unité :

Pour tout entier naturel non nul nn, on appelle racine n-ieˋmen \text{-ième} de l’unité un nombre complexe zz vérifiant : zn=1z^n=1.

  • On note Un\mathbb U_n l’ensemble des racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité.

Nous allons maintenant voir comme résoudre une équation de la forme zn=1z^n=1, c’est-à-dire comment nous allons déterminer les racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité.

Pour ce type d’équation faisant intervenir la puissance n-ieˋmen \text{-ième} de zz, il est préférable et surtout beaucoup plus simple d’utiliser la forme exponentielle d’un nombre complexe, écriture, comme nous l’avons déjà dit, particulièrement utile pour les produits, les quotients et les puissances de nombres complexes.

La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul zz est :

z=zeiθz=\vert z \vert \text{e}^{\text{i}\theta}

Dans le cas présent, nous allons devoir résoudre : zn=1z^n=1.
Mais si zn=1z^n=1, alors zn=zn=1\vert z^n \vert= \vert z \vert^n=1.

  • Ce qui implique : z=1\vert z \vert=1.

On peut donc en déduire que les seuls complexes possibles doivent s’écrire sous la forme, avec nn un entier naturel non nul :

zn=(1×eiθ)n=(eiθ)n=eniθ\begin{aligned} z^n&={(1 \times \text e^{i \theta})}^n \ &={(\text e^{i \theta})}^n \ &=\text e^{n \text{i} \theta} \end{aligned}

Or, eniθ=1\text{e}^{n \text{i} \theta}=1 si et seulement si il existe un entier kk tel que : nθ=0+2kπn \theta=0 + 2k \pi.

  • On a alors :

θ=2kπn\theta=\frac{2 k\pi}{n}

On rappelle que, du fait de la périodicité des angles, si on ajoute un multiple de 2π2 \pi à θ\theta, on aura un argument de zz qui correspondra au même angle, donc au même complexe.
Par conséquent, kk peut prendre toutes les valeurs possibles entre 00 et n1n-1, mais, en dehors de ces valeurs, on retombera sur un angle déjà vu.

  • Nous pouvons donc restreindre les valeurs de kk à l’ensemble {1,2,,n1}\lbrace 1,\,2,\,…,\,n-1\rbrace.

Nous avons donc déterminé les racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité comme étant tous les complexes de module 11 et d’argument θ=2kπn\theta=\frac{2k \pi}{n}, avec kk entier relatif tel que 0kn10\leq k\leq n-1.

  • Elles sont donc de la forme, avec kk entier compris entre 00 et n1n-1 :

ωk=ei2kπn\omega_k=\text{e}^{\text{i}\frac{2k\pi}n}

Montrons maintenant que ces racines ω0\omega0, ω1\omega1, …, ωn1\omega_{n-1} sont distinctes.

  • C’est-à-dire que, pour kk et kk^{\prime}, compris entre 00 et n1n-1, si ωk=ωk\omegak=\omega{k^{\prime}}, alors cela signifie que k=kk=k^{\prime}.

Nous travaillons donc avec nn un entier naturel non nul et nous supposons qu’il existe de tels entiers kk et kk^{\prime}. Et nous avons :

ωk=ωkei2kπn=ei2kπn\omegak=\omega{k^{\prime}}\Leftrightarrow\text{e}^{\text{i}\frac{2k\pi}n}=\text{e}^{\text{i}\frac{2k^{\prime}\pi}n}

Cela signifie qu’il existe un entier ll tel que :

2kπn=2kπn+2lπ2kπ=2kπ+2nlπk=k+nlkk=nl\begin{aligned} \dfrac{2k\pi}n = \dfrac{2k^{\prime}\pi}n + 2l\pi &\Leftrightarrow 2k\pi=2k^{\prime}\pi+2nl\pi \ &\Leftrightarrow k=k^{\prime}+nl \ &\Leftrightarrow k-k^\prime=nl \end{aligned}

Or, nn ne peut pas diviser kkk-k^{\prime}, car nkkn\geq \vert k-k^{\prime}\vert .

  • Donc l=0l=0 et k=kk=k^{\prime}.

Nous venons de démontrer les propriétés suivantes, qui vont nous permettre de trouver les racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité.

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Propriété

L’équation zn=1z^n=1 admet exactement nn solutions distinctes (nNn \in \mathbb N^*).

  • Ces solutions sont :

Un={ei2kπn ;kN,0kn1}\mathbb U_n=\lbrace \text{e}^{\text{i}\frac{2k \pi}{n}}\ ;\, k\in \mathbb N, 0\leq k\leq n-1\rbrace

Nous avons vu que le module des racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} était toujours égal à 11. Elles appartiennent donc toutes à U\mathbb U.

  • Dans un repère orthonormé les points qui leurs sont associés appartiennent tous au cercle trigonométriques.

De plus, on admet la propriété suivante.

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Propriété

Si nn est un entier naturel tel que n3n\geq 3, alors les points dont les affixes sont les racines n-ieˋmesn \text{-ièmes} de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à nn côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique.

Exemples

Nous allons maintenant étudier quelques cas particuliers, avec n=1n=1, n=2n=2, n=3n=3, n=4n=4 et n=5n=5.

  • Dans le cas n=1n=1, il y a une seule solution possible.
  • z1=1z^1=1 si et seulement si z=1z=1, ce qui se retrouve aussi avec la propriété ci-dessus en remplaçant nn par 11 :

U1={ei2×0×π1}={e0}={1}\begin{aligned} \mathbb U_1&=\lbrace\text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 0\times \pi}{1}}\rbrace \ &=\lbrace \text{e}^0\rbrace \ &=\lbrace 1\rbrace \end{aligned}

  • Dans le cas n=2n=2, il y a deux solutions possibles.
  • L’ensemble des solutions de z2=1z^2=1 est :

U2={ei2×0×π2,ei2×1×π2}={e0,eiπ}={1,1}\begin{aligned} \mathbb U_2&=\lbrace \text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 0\times \pi}{2}},\, \text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 1\times \pi}{2}}\rbrace \ &=\lbrace\text{e}^{0},\, \text{e}^{\text{i} \pi}\rbrace \ &=\lbrace 1,\, -1\rbrace \end{aligned}

  • Dans le cas n=3n=3, il y a trois solutions possibles.

L’ensemble des solutions de z3=1z^3=1 est :

U3={ei2×0×π3,ei2×1×π3,ei2×2×π3}={e0,ei2π3,ei4π3}\begin{aligned} \mathbb U_3&=\lbrace \text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 0\times \pi}{3}},\,\text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 1\times \pi}{3}},\,\text{e}^{\text{i} \frac{2 \times 2\times \pi}{3}}\rbrace \ &=\lbrace \text{e}^{0},\,\text{e}^{\text{i} \frac{2 \pi}{3}},\, \text{e}^{\text{i} \frac{4 \pi}{3}}\rbrace \end{aligned}