Fiche de révision : Variations et courbes représentatives de fonctions

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

• Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :
• si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
• si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.
• Le procédé contraire existe également :
• si $f$ est croissante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\geq0$ ;
• si $f$ est décroissante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\leq0$ ;
• si $f$ est constante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)=0$.
• Si $f$ est dérivable et croissante sur $I$ :

• Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :
• soit strictement positif ;
• soit égal à $0$ (tangente horizontale).
• On voit graphiquement que $f'(x)\ge0$ pour tout $x$ de $I$.
• Si $f$ est dérivable et décroissante sur $I$ :

• Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :
• soit strictement négatif ;
• soit égal à $0$ (tangente horizontale).
• On voit graphiquement que $f'(x)\le0$ pour tout $x$ de $I$.

Extremum d’une fonction

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle :
• $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\le f(a)$. Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
• $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\ge f(a)$. Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
• Un extremum est un maximum ou un minimum.
• Il y a trois cas possibles :

Exemple d’une étude de fonction

• Les étapes d’une étude de fonction sont les suivantes :
• Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé.
• Calculer la dérivée en donnant son intervalle de définition.
• Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction.
• Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.
• Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$.
• L’ensemble de définition est :

$$\begin{aligned} D_f&=]-\infty\ ;\ -3[\ \cup\ ]-3\ ;\ +\infty[ \\ D_f&=\mathbb R\setminus\lbrace -3\rbrace \end{aligned}$$

• La dérivée, comme quotient de deux fonctions est :

$$f'(x)=\dfrac{7}{(x+3)^2}$$

• La dérivée est donc supérieure strictement à $0$ sur les deux intervalles de son ensemble de définition.
• On peut alors construire le tableau suivant :