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Variations et courbes représentatives de fonctions

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

  • Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II :
  • si f(x)<0f'(x)<0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement décroissante sur II ;
  • si f(x)>0f'(x)>0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement croissante sur II ;
  • si f(x)=0f'(x)=0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est constante sur II.
  • Le procédé contraire existe également :
  • si ff est croissante sur II, alors, pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\geq0 ;
  • si ff est décroissante sur II, alors, pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\leq0 ;
  • si ff est constante sur II, alors, pour tout xx de II, on a f(x)=0f'(x)=0.
  • Si ff est dérivable et croissante sur II :

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  • Les tangentes à la courbe C\mathscr C ont toutes un coefficient directeur :
  • soit strictement positif ;
  • soit égal à 00 (tangente horizontale).
  • On voit graphiquement que f(x)0f'(x)\ge0 pour tout xx de II.
  • Si ff est dérivable et décroissante sur II :

mathématiques première réforme variations et courbes représentatives fonctions

  • Les tangentes à la courbe C\mathscr C ont toutes un coefficient directeur :
  • soit strictement négatif ;
  • soit égal à 00 (tangente horizontale).
  • On voit graphiquement que f(x)0f'(x)\le0 pour tout xx de II.

Extremum d’une fonction

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle :
  • ff admet un maximum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\le f(a). Le maximum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.
  • ff admet un minimum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\ge f(a). Le minimum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.
  • Un extremum est un maximum ou un minimum.
  • Il y a trois cas possibles :

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Exemple d’une étude de fonction

  • Les étapes d’une étude de fonction sont les suivantes :
  • Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé.
  • Calculer la dérivée en donnant son intervalle de définition.
  • Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction.
  • Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.
  • Soit la fonction ff définie par f(x)=2x1x+3f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}.
  • L’ensemble de définition est :

Df=] ; 3[  ]3 ; +[Df=R{3}\begin{aligned} Df&=]-\infty\ ;\ -3[\ \cup\ ]-3\ ;\ +\infty[ \ Df&=\mathbb R\setminus\lbrace -3\rbrace \end{aligned}

  • La dérivée, comme quotient de deux fonctions est :

f(x)=7(x+3)2f'(x)=\dfrac{7}{(x+3)^2}

  • La dérivée est donc supérieure strictement à 00 sur les deux intervalles de son ensemble de définition.
  • On peut alors construire le tableau suivant :

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