Méthode : Construire une courbe de Lorenz

Présentation

La courbe de Lorenz est une représentation graphique de la distribution d'une variable (revenu, patrimoine, etc.) au sein d'une population. Elle permet de calculer le coefficient de Gini, qui mesure l'inégalité de cette variable dans une population donnée.

Dans l'image ci-dessous, on a en rouge la courbe de Lorenz représentant le patrimoine détenu par les ménages en 2004 (source : INSEE). La courbe en bleu représente la droite d'équidistribution.

Définition

Droite d'équidistribution :

Droite qui représente la situation dans laquelle il y aurait une distribution parfaitement égalitaire de la variable dans la population.

Courbe de Lorenz et droite d’équidistribution méthode ses

Lecture du graphique

Le point A sur la courbe indique que 80 % de la population la plus pauvre détient 40 % du patrimoine total, et donc que 20 % de la population la plus riche détient 60 % de ce patrimoine.
Le point A’ indique que, dans la situation d'égalité parfaite, 60 % de la population la plus pauvre détient 60 % du patrimoine.

Construction de la courbe de Lorenz

La construction de la courbe de Lorenz passe par cinq étapes :

classer la population par niveau croissant de revenu ou d'une autre variable mesurée. Puis, il faut diviser la population en parts égales. La plupart du temps, l'échantillon est divisé en dix parts (chaque part est appelée décile) ou en cinq parts (chaque part est appelée quintile) ;
définir la proportion de revenu détenue par chaque groupe d'individus et la proportion de population qui lui correspond ;
définir la proportion cumulée de revenus et celle de la population ;
reporter les valeurs obtenues à l'étape 3 sur un graphique ;
tracer la droite d'équidistribution.

Afin de construire la courbe de Lorenz nous allons utiliser, comme support, une distribution des revenus disponibles bruts.

Distribution des revenus disponibles bruts
1^er décile (D1)	5 200 €
2^e décile (D2)	10 120 €
3^e décile (D3)	14 000 €
4^e décile (D4)	16 680 €
5^e décile (D5)	18 900 €
6^e décile (D6)	21 350 €
7^e décile (D7)	24 510 €
8^e décile (D8)	28 960 €
9^e décile (D9)	37 570 €
10^e décile (D10)	52 150 €

Étape 1

Le tableau que nous utilisons comme exemple contient les données ordonnées en déciles de la population et indique pour chaque décile le revenu moyen du groupe. On peut le lire de la manière suivante :

10 % des personnes qui ont le revenu le plus faible (D1) gagnent en moyenne 5 200 € par mois ;
10 % des personnes qui ont le plus haut revenu (D10) gagnent en moyenne 52 150 € par mois.

Étape 2

Tout d'abord, il faut calculer le revenu total de l'échantillon considéré, soit la somme des revenus de l'ensemble des déciles présentés dans le tableau :

Revenu total = 5200 + 10120 + 14000 + 16680 + 18900 + 21350 + 24510 + 28960 + 37570 + 52150

Revenu total = 229 440 €

Puis, il faut définir la proportion de revenu détenue par chaque décile. Pour trouver ce rapport, il faut diviser le montant du revenu du décile considéré par le revenu total de l'échantillon.

	Revenu	Proportion de revenu dans l'ensemble du revenu	Proportion de la population dans l'ensemble de la population
D1	5 200	0,022	0,10
D2	10 120	0,044	0,10
D3	14 000	0,061	0,10
D4	16 680	0,073	0,10
D5	18 900	0,082	0,10
D6	21 350	0,093	0,10
D7	24 510	0,107	0,10
D8	28 960	0,126	0,10
D9	37 570	0,164	0,10
D10	52 150	0,227	0,10

Étape 3

Dans cette étape on doit calculer quelle est la proportion cumulée de revenu et de population.

Pour trouver cette proportion, il faut ajouter la proportion correspondant au décile considéré à la proportion des déciles qui le précédent.

	Revenu	Proportion de revenu dans l'ensemble du revenu	Proportion de la population dans l'ensemble de la population	Proportion cumulée de revenu	Proportion cumulée de la population
D1	5 200	0,022	0,10	0,022	0,1
D2	10 120	0,044	0,10	0,066	0,2
D3	14 000	0,061	0,10	0,127	0,3
D4	16 680	0,073	0,10	0,200	0,4
D5	18 900	0,082	0,10	0,282	0,5
D6	21 350	0,093	0,10	0,375	0,6
D7	24 510	0,107	0,10	0,482	0,7
D8	28 960	0,126	0,10	0,608	0,8
D9	37 570	0,164	0,10	0,772	0,9
D10	52 150	0,227	0,10	1	1

Étape 4

Dans cette quatrième étape, il s'agit de reporter les valeurs obtenues dans l'étape précédente sur un graphique.

L'abscisse ( $x$ ) de ce graphique représentera la distribution de la population et l'ordonnée ( $y$ ) représentera la répartition du revenu. On a donc dix points qui ont les coordonnées suivantes :

Répartition de la population ( $x$ )	Répartition du revenu ( $y$ )
0	0
0,1	0,022
0,2	0,066
0,3	0,127
0,4	0,200
0,5	0,282
0,6	0,375
0,7	0,482
0,8	0,608
0,9	0,772
1	1

Courbe de Lorenz méthode ses

Étape 5

Cette dernière étape consiste à ajouter sur le même graphique la droite d'équidistribution.

Cette droite représente la situation dans laquelle il y aurait une distribution égalitaire du revenu au sein de la population (10 % de la population possède 10 % du revenu, 20 % de la population possède 20 % du revenu, et ainsi de suite). Cette droite à un angle de 45° sortant du point (0 ; 0) jusqu'au point (1 ; 1).

Répartition de la population ( $x$ )	Répartition du revenu ( $y$ ) - équidistribution	Courbe de Lorenz (étape 4)
0	0	0
0,1	0,1	0,022
0,2	0,2	0,066
0,3	0,3	0,127
0,4	0,4	0,200
0,5	0,5	0,282
0,6	0,6	0,375
0,7	0,7	0,482
0,8	0,8	0,608
0,9	0,9	0,772
1	1	1

Courbe de Lorenz et droite d’équidistribution méthode ses

Comme on peut le voir ici, la courbe de Lorenz est différente de la courbe d'équidistribution : elle montre que la distribution du revenu dans la population n'est pas faite de manière égalitaire. Plus la courbe de Lorenz s'écarte de la courbe d'équidistribution, plus la distribution de la variable mesurée dans la population est inégalitaire.