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Utiliser les suites géométriques dans un contexte économique (capital placé à intérêts composés)
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Fiche méthode

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions du cours « Croissance exponentielle et suites géométriques » :

  • modéliser une situation géométrique par une suite numérique ;
  • déterminer la formule explicite d’une suite et montrer qu’elle est géométrique ;
  • utiliser une suite géométrique pour calculer des valeurs ;
  • utiliser un tableur pour calculer les termes d’une suite et rechercher un seuil ;
  • déterminer le sens de variation d’une suite géométrique ;
  • calculer la racine n-ieˋmen\text{-ième} d’un nombre et déterminer un taux moyen d’évolution.

Énoncé

En 20202020, monsieur H. place 2500 2\,500\ € sur un livret d’épargne au taux annuel de 3%3\,\% à intérêts composés : cela signifie qu’à la fin de chaque année le capital est augmenté de 3%3\,\%.
Dans cet exercice, on suppose que monsieur H. ne se sert pas de cette épargne.

On note nn le rang de l’année suivant 20202020 et C(n)C(n) le capital, en euro, que monsieur H. a acquis au début de l’année (2020+n)(2020+n).
Ainsi, C(0)C(0) est le capital acquis au début de l’année (2020+0)(2020+0), soit 20202020.

  • On a donc C(0)=2500C(0)=2\,500.

Et C(1)C(1) est le capital acquis au début de l’année (2020+1)(2020+1), soit 20212021.

  • C’est donc le capital obtenu après augmentation de 3%3\,\% de C(0)C(0).

On notera CC la suite des termes C(n)C(n), avec nNn\in \mathbb N.

Question 1

Montrer que C(1)=2575C(1)=2\,575 et que C(2)=2652,25C(2)=2\,652,25.

Question 2

La suite CC est-elle arithmétique ? Justifier.

Question 3

Montrer que la suite CC est une suite géométrique.
Préciser le premier terme et la raison de la suite, puis donner l’expression de C(n)C(n) en fonction de nn.

Question 4

Calculer C(8)C(8) et en donner un arrondi au centième. Comment interpréter ce résultat ?

Question 5

Monsieur H. veut suivre l’évolution de son capital. Il a donc modélisé l’évolution de la suite CC sur tableur.
On donne ci-dessous le début de sa feuille de calcul.

Feuille de calcul modélisant l’évolution du capital Feuille de calcul modélisant l’évolution du capital

a. Quelle formule a été écrite dans la cellule B3 pour obtenir la valeur du capital après 11 année, et qui a permis, par utilisation de la poignée de recopie, d’obtenir les valeurs du capital de la colonne B pour les années suivantes ?

b. D’après la feuille de calcul, à partir de quelle année le capital de monsieur H. dépassera-t-il 3000 3\,000\ € ?

Question 6

Monsieur H. aurait souhaité que les 3000 3\,000\ € soient atteints dès 20242024.
On suppose dans cette question que les intérêts composés sont calculés avec un taux annuel tt (en pourcentage).
CC est donc la suite géométrique de premier terme C(0)C(0) et de raison (1+t)(1+t).

a. Quel est le sens de variation de la suite CC ?

b. Exprimer en fonction de tt le capital C(4)C(4).
Puis résoudre l’équation 2500×(1+t)4=30002\,500\times (1+t)^4=3\,000 ; on donnera une valeur de tt en pourcentage, approchée au dixième par excès.

c. En déduire le taux tt qui aurait été nécessaire pour que le capital de monsieur H. dépasse 3000 3\,000\ € dès 20242024.

Corrigé

Question 1

C(1)C(1) est le capital acquis au début de l’année 20212021 : il est obtenu après augmentation de 3%3\,\% de C(0)C(0).

bannière astuce

Astuce

Quand une valeur initiale évolue d’un pourcentage tt, pour passer d’une valeur initiale ViV\text{i} à une valeur finale VfV\text{f}, on utilise les formules vues en seconde pour trouver la valeur finale.

  • S’il s’agit d’une augmentation : Vf=(1+t)×ViV\text{f}=(1+t)\times V\text{i}.
  • S’il s’agit d’une diminution : Vf=(1t)×ViV\text{f}=(1-t)\times V\text{i}.

Ici, t=3100t=\frac 3{100}.

  • On obtient donc :
    C(1)=C(0)×(1+3100)=C(0)×1,03=2500×1,03=2575\begin{aligned} C(1)&=C(0)\times \left(1+\dfrac 3{100}\right) \ &=C(0)\times 1,03 \ &=2\,500\times 1,03 \ &=2\,575 \end{aligned}

De la même manière, C(2)C(2) est le capital acquis au début de l’année 20222022, après augmentation de 3%3\,\% de C(1)C(1).

  • On obtient alors :
    C(2)=C(1)×1,03=2575×1,03=2652,25\begin{aligned} C(2)&=C(1)\times 1,03 \ &=2\,575\times 1,03 \ &=2\,652,25 \end{aligned}

Question 2

Une suite uu est arithmétique lorsqu’elle vérifie, pour tout entier naturel nn, u(n+1)u(n)=ru(n+1)-u(n)=r, où rr est une constante réelle.

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Astuce

Pour démontrer que uu n’est pas arithmétique, il faut prouver que cette dernière propriété « Pour tout entier naturel nn, u(n+1)u(n)=ru(n+1)-u(n)=r, où rr est une constante réelle » est fausse ; il suffit alors de prouver qu’elle est fausse pour une ou quelques valeurs de nn.

  • Ce sont des contre-exemples.

Ici, on a :
C(1)C(0)=25752500=75C(2)C(1)=2652,252575=77,25\begin{aligned} C(1)-C(0)&=2\,575-2\,500=\red{75} \ C(2)-C(1)&=2\,652,25-2\,575=\red{77,25} \end{aligned} La différence de ces termes consécutifs ne donne pas le même nombre.

  • Ainsi la suite CC n’est pas arithmétique.

Question 3

Soit nn un entier naturel.
Le capital augmente de 3%3\,\% d’une année à l’autre. Donc :
C(n+1)=(1+3100)×C(n)C(n+1)=\left(1+\dfrac 3{100}\right) \times C(n)

On en déduit que, pour tout entier naturel nn :
C(n+1)=1,03×C(n)C(n+1)=1,03\times C(n)

Pour passer du terme de rang nn au terme de rang (n+1)(n+1), on multiplie par la constante réelle 1,031,03.

  • La suite CC est donc géométrique de raison 1,031,03.
    Son premier terme est C(0)=2500C(0)=2\,500.
  • Ainsi, pour tout entier naturel nn : C(n)=2500×1,03nC(n)=2\,500\times 1,03^n

Question 4

Pour calculer C(8)C(8), on utilise la formule explicite trouvée précédemment :
C(8)=2500×1,0383166,93C(8)=2\,500\times 1,03^8\approx 3\,166,93

  • Cela signifie qu’au début de l’année 20282028, monsieur H. aura acquis un capital d’environ 3166,933\,166,93 euros.

Question 5

a. Dans la cellule B3 apparaît la valeur de C(1)C(1). Pour la calculer, il y a deux solutions.

  • Soit on utilise la relation de récurrence : C(n+1)=1,03C(n)C(n+1)=1,03C(n).
    On a ici : C(1)=1,03C(0)C(1)=1,03 C(0). Et C(0)C(0) occupe la cellule B2.
  • Donc la formule à écrire dans B3 est :
    =1,03  B2=1,03\ ^\ast\ \text{B2}
  • Soit on utilise la relation explicite : C(n)=2500×1,03nC(n)=2\,500\times 1,03^n.
    On a alors : C(1)=2500×1,031C(1)=2\,500\times 1,03^1. Et la valeur n=1n=1 se trouve dans la cellule A3.
  • Donc la formule à écrire dans B3 est :
    =2500  1,03 A3=2500\ ^\ast\ 1,03^{\ \wedge}\text{A3}

b. Sur la feuille de calcul, on cherche tout simplement dans la colonne B la première valeur qui est supérieure à 30003\,000.

Recherche du seuil Recherche du seuil

  • On trouve alors que le capital dépassera 3000 3\,000\ € à partir du rang n=7n=7, soit au début de l’année 20272027.

Question 6

a. CC est la suite géométrique de premier terme C(0)=2500C(0)=2\,500 et de raison (1+t)(1+t).
tt est un taux d’augmentation, il est donc strictement positif, et 1+t>11+t > 1.

  • Donc la suite CC est croissante.

b. Pour tout entier nn :
C(n)=2500×(1+t)nC(n)=2\,500\times (1+t)^n

  • On obtient donc :
    C(4)=2500×(1+t)4C(4)=2\,500\times (1+t)^4

On résout maintenant :
2500×(1+t)4=3000(1+t)4=30002500(1+t)4=1,2\begin{aligned} 2\,500×(1+t)^4=3\,000 &\Leftrightarrow (1+t)^4=\dfrac{3\,000}{2\,500} \ &\Leftrightarrow (1+t)^4=1,2 \end{aligned}

On prend la racine 4-ieˋme4\text{-ième} dans chaque membre de cette équation :
1+t=1,214Soit : t=1,21414,7%\begin{aligned} 1+t&=1,2^{\frac 14} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} t&=1,2^{\frac 14}-1 \ &\approx 4,7\,\% \end{aligned}

  • La solution de l’équation que nous cherchons est 4,7%4,7\,\%.

c. D’après le résultat précédent, si t4,7%t\approx 4,7\,\%, alors C(4)C(4) atteint 3000 3\,000\ €.

  • Il aurait donc fallu que le taux soit au moins de 4,7%4,7\,\% pour que le capital acquis dépasse 3000 3\,000\ € dès 20242024.