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Utiliser les suites géométriques dans un contexte géométrique (triangle de Sierpiński)
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Fiche méthode

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions du cours « Croissance exponentielle et suites géométriques » :

  • modéliser une situation géométrique par une suite numérique ;
  • déterminer la relation de récurrence et la formule explicite d’une suite ;
  • reconnaître une suite géométrique ;
  • utiliser une suite géométrique pour calculer des valeurs ;
  • déterminer le sens de variation d’une suite géométrique ;
  • représenter une suite géométrique.

Préambule : construction du triangle de Sierpiński

La construction est facultative mais conseillée.

  • On construit un triangle équilatéral de côté 12 cm12\ \text{cm} (étape 0).
  • On place le milieu de chaque côté et on relie ces trois points pour former un triangle équilatéral de côté 6 cm6\ \text{cm}, que l’on colorie (étape 1).

Triangle de Sierpiński (étapes 0 et 1) Triangle de Sierpiński : étapes 0 et 1 (image temporaire)

  • On recommence l’opération (b) pour chacun des trois triangles équilatéraux blancs de l’étape 1 : on place le milieu de chaque côté et on relie ces points pour former un triangle équilatéral de côté 3 cm3\ \text{cm}, que l’on colorie (étape 2).
  • On peut poursuivre ainsi pour l’étape 3 et les suivantes.

Triangle de Sierpiński (étapes 2 et 3) Triangle de Sierpiński : étapes 2 et 3 (image temporaire)

Quand on reproduit ces étapes un très grand nombre de fois, on obtient le triangle de Sierpiński, du nom du mathématicien polonais qui l’a inventé en 1915.
Ce triangle fait partie des figures géométriques qu’on appelle fractales : en zoomant sur une partie de la figure à une étape quelconque, on retrouve le motif précédent.

Énoncé

On désigne :

  • le numéro de l’étape par l’entier naturel nn ;
  • le nombre de triangles blancs obtenus à l’étape nn par u(n)u(n) ;
  • et enfin la suite numérique des u(n)u(n), où nNn\in\mathbb N, par uu.

Ainsi, à l’étape 00, n=0n=0 et il y a un seul triangle blanc.

  • Donc u(0)=1u(0)=1.

À l’étape 11, n=1n=1 et il y a trois triangles blancs.

  • Donc u(1)=3u(1)=3.

Question 1

Donner sans justification u(2)u(2) et u(3)u(3).

Question 2

Expliquer comment on peut calculer le nombre de triangles blancs à l’étape (n+1)(n+1) à partir du nombre de triangles blancs à l’étape nn.
En déduire que, pour tout entier naturel nn :
u(n+1)=3×u(n)u(n+1)=3\times u(n)

Question 3

Quelle est la nature de la suite uu ?
En déduire l’expression de u(n)u(n) en fonction de nn, puis le nombre de triangles blancs à l’étape 1010.

Question 4

Quel est le sens de variation de la suite uu ?

Question 5

On s’intéresse maintenant à l’aire des triangles blancs. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté cc est égale à :
34×c2\dfrac{\sqrt 3}4\times c^2

Dans cette question, nn désigne toujours le numéro de l’étape.
On note a(n)a(n) l’aire totale occupée par les triangles blancs à l’étape nn.

a. Prouver que a(0)=363 cm2a(0)=36\sqrt{3}\ \text{cm}^2.

b. En observant la figure de l’étape 11, justifier l’égalité :
a(1)=34a(0)a(1)=\dfrac 34 a(0) Puis calculer a(1)a(1).

Question 6

Dans le repère ci-dessous, on a construit la représentation du nuage des points AnA_n de coordonnées (n ;a(n))\big(n\ ;\, a(n)\big), avec 1n241\leq n\leq 24.
On a indiqué les coordonnées de quelques points en arrondissant a(n)a(n) au dixième.

Nuage des points A<sub>n</sub> Nuage des points An (image temporaire)

a. Quel semble être le sens de variation de la suite aa ?

b. La suite aa est-elle arithmétique ? Justifier.

c. En utilisant les valeurs données sur le graphique, donner les valeurs approchées au centième de :
a(2)a(1)a(3)a(2)a(4)a(3)\dfrac {a(2)}{a(1)}\qquad \dfrac{a(3)}{a(2)}\qquad \dfrac {a(4)}{a(3)}
En comparant avec la valeur exacte de a(1)a(0)\frac {a(1)}{a(0)}, que peut-on conjecturer ?

d. On admet que la suite aa suit la relation fonctionnelle, pour tout entier naturel nn :
a(n)=363×(34)na(n)=36\sqrt 3\times \left(\dfrac 34\right)^n En quoi cette formule permet-elle de démontrer les conjectures émises aux questions a et c ?

Corrigé

Question 1

On utilise les figures des étapes 2 et 3 :

Triangle de Sierpiński (étapes 2 et 3) Triangle de Sierpiński : étapes 2 et 3 (image temporaire)

u(2)u(2) est le nombre de triangles blancs à l’étape 22.

  • Donc u(2)=9u(2)=9.

u(3)u(3) est le nombre de triangles blancs à l’étape 3.

  • Donc u(3)=27u(3)=27.

Question 2

Soit un entier naturel nn.
À l’étape nn, chaque triangle blanc est partagé en 44 triangles ; on en colorie un sur les quatre. Un triangle blanc donne donc 33 autres triangles blancs.
Ainsi, on multiplie par 33 le nombre de triangles blancs quand on passe de l’étape nn à l’étape (n+1)(n+1).

  • Par conséquent, comme u(n)u(n) est le nombre de triangles blancs à l’étape nn, u(n+1)u(n+1) est le nombre de triangles blancs à l’étape (n+1)(n+1), et on a, pour tout entier naturel nn :
    u(n+1)=3×u(n)u(n+1)=3\times u(n)

Question 3

Pour tout entier naturel nn, on multiplie le terme u(n)u(n) par 33 pour obtenir le terme suivant u(n+1)u(n+1).

  • uu est donc une suite géométrique de raison 33.

On peut donc écrire que, pour tout entier naturel nn :
u(n)=u(0)×3nu(n)=u(0)\times 3^n

  • Comme u(0)=1u(0)=1, cela donne, pour tout entier naturel nn : u(n)=3nu(n)=3^n.

Pour calculer u(10)u(10), on remplace nn par 1010 dans la formule u(n)=3nu(n)=3^n :
u(10)=310=59049u(10)=3^{10}=59\,049

  • À l’étape 1010, il y a donc 5904959\,049 triangles blancs.

Question 4

La raison de la suite uu est strictement supérieure à 11.

  • On en déduit que la suite uu est croissante.

Question 5

a. a(0)a(0) est l’aire du triangle à l’étape 0. C’est donc l’aire d’un triangle équilatéral de côté 1212.
On utilise la formule 34×c2\dfrac{\sqrt 3}4\times c^2, avec c=12c=12 :
a(0)=34×122=34×144=34×4×36=363\begin{aligned} a(0)&=\dfrac{\sqrt 3}4\times 12^2 \ &=\dfrac{\sqrt 3}4\times 144 \ &=\dfrac{\sqrt 3}4\times 4\times 36 \ &=36\sqrt{3} \end{aligned}

  • a(0)a(0) vaut donc bien 363 cm236 \sqrt 3\ \text{cm}^2.

b. Pour passer de l’étape 0 à l’étape 1, on a partagé en 44 triangles équilatéraux de même dimension le triangle de départ, et on a conservé 33 d’entre eux blancs.
Ainsi, l’aire des triangles blancs à l’étape 1 est :
a(1)=34×a(0)a(1)=\dfrac 34\times a(0) On calcule cette aire :
a(1)=34×36×3=273a(1)=\dfrac 34\times 36\times \sqrt 3=27\sqrt 3

  • a(1)a(1) vaut donc 273 cm227\sqrt 3\ \text{cm}^2.

Remarque :
On a donné la valeur exacte de a(0)a(0) à la question a, comme nous y a invité l’énoncé, on donne donc aussi la valeur exacte de a(1)a(1).

Question 6

a. Sur le graphique, le nuage de points « descend » quand nn croît.

  • La suite aa semble être décroissante.

b. On sait que les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés (voir cours « Croissance linéaire et suites arithmétiques »). Or, les points AnA_n ne sont pas alignés.

  • La suite aa n’est donc pas arithmétique.

c. En relevant les valeurs approchées des ordonnées sur le graphique :
a(2)a(1)35,146,8=0,75a(3)a(2)26,335,10,75a(4)a(3)19,726,30,75\begin{aligned} \dfrac{a(2)}{a(1)} &\approx \dfrac {35,1}{46,8}=\boxed{0,75} \ \dfrac {a(3)}{a(2)} &\approx \dfrac {26,3}{35,1}\approx \boxed{0,75} \ \dfrac{a(4)}{a(3)} &\approx \dfrac {19,7}{26,3}\approx \boxed{0,75} \end{aligned}

Or, on a vu plus haut que a(1)=34×a(0)a(1)=\dfrac 34\times a(0). D’où :
a(1)a(0)=34=0,75\dfrac {a(1)}{a(0)}=\dfrac 34=0,75

On a calculé le quotient de deux termes consécutifs a(n+1)a(n)\dfrac{a(n+1)}{a(n)} pour nn compris entre 00 et 33, et on trouve des valeurs proches de 0,750,75.

  • On peut faire l’hypothèse que la suite aa est géométrique et que sa raison est 0,750,75.
bannière attention

Attention

C’est une hypothèse formulée sur l’observation de quatre valeurs. L’observation ne suffit pas à démontrer que la suite est géométrique. Pour cela, il faudrait que l’on montre que, pour tout entier naturel nn, a(n+1)a(n)\frac {a(n+1)}{a(n)} vaut exactement 0,750,75.

d. D’après l’énoncé, pour tout entier naturel nn :
a(n)=363×(34)na(n)=36\sqrt 3\times \left(\dfrac 34\right)^n

Dans cette écriture, on reconnaît le premier terme : a(0)=363a(0)=36\sqrt 3.

  • Ainsi, a(n)=a(0)×(34)na(n)=a(0)\times \left(\frac 34\right)^n est bien la forme d’une suite géométrique de premier terme a(0)a(0) et de raison q=34=0,75q=\frac 34=0,75.
  • La raison de la suite est strictement inférieure à 11, donc cette suite est bien décroissante.

Cette écriture nous a bien permis de vérifier les deux hypothèses formulées aux questions a et c.