Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant l’enseignement scientifique. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.

👉 Les élèves suivant la spécialité mathématiques doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :

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Variation instantanée et nombre dérivé

Sécante et taux d’accroissement

Définition

Une sécante à la courbe représentative d’une fonction est une droite passant par deux points distincts de la courbe.

Soient $a$ et $b$ deux réels distincts. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est : $$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

À retenir

Le taux d’accroissement correspond au coefficient directeur de la sécante. Il modélise une variation moyenne.

Tangente et nombre dérivé

Définition

La tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ est la position limite de la sécante lorsque $b$ se rapproche de $a$.

Définition

Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux d’accroissement lorsque $b$ tend vers $a$.

$$f'(a) = \lim\limits_{b \to a} \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

À retenir

• $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.
• Si $f'(a) > 0$ → la tangente est croissante.
• Si $f'(a) < 0$ → la tangente est décroissante.
• Si $f'(a) = 0$ → la tangente est horizontale.
• En physique, le nombre dérivé modélise une vitesse instantanée.

Astuce

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Consulte le cours :

• Variation instantanée et nombre dérivé

Fonction dérivée et variations

Définition

Définition

La fonction dérivée de $f$ est la fonction qui à tout réel $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$.

Dérivées des fonctions de référence

À retenir

Fonction $f(x)$ → Dérivée $f'(x)$

• Constante $k$ → $0$
• Identité $x$ → $1$
• Carré $x^2$ → $2x$
• Cube $x^3$ → $3x^2$

Opérations sur les dérivées

Propriété

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un réel.

• $(u+v)' = u' + v'$
• $(k \times u)' = k \times u'$

À retenir

• La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.
• La dérivée d’un produit par un réel est le réel multiplié par la dérivée.

Lien entre dérivée et variations

Propriété

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) \geq 0$ sur $I$ → $f$ est croissante sur $I$.
• Si $f'(x) \leq 0$ sur $I$ → $f$ est décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ sur $I$ → $f$ est constante sur $I$.

À retenir

Le signe de $f'(x)$ détermine le sens de variation de $f$.

Méthode d’étude des variations

À retenir

• Calculer $f'(x)$.
• Étudier le signe de $f'(x)$.
• En déduire le tableau de variations de $f$.
• Calculer les images utiles.

Astuce

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• Variation globale et fonction dérivée

🎯 À maîtriser pour le bac

• Calculer un taux d’accroissement.
• Interpréter graphiquement une sécante et une tangente.
• Comprendre la définition du nombre dérivé.
• Savoir que $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.
• Dériver les fonctions de référence.
• Utiliser les règles $(u+v)'$ et $(k u)'$.
• Étudier le signe de $f'(x)$.
• Construire un tableau de variations.
• Interpréter la dérivée comme une variation instantanée.