Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Savoir calculer des dérivées
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Savoir-faire

Pré-requis

Dérivées des fonctions usuelles.

Etapes

La dérivée d'une somme des fonctions est :

  • (u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'

Exemple : Soit la fonction f(x)=x2+3x8f(x)=x^2+3x-8
Sa dérivée est la somme des dérivées de x2x^2, de 3x3x et de 8-8.
Ainsi : f(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

La dérivée d'un produit de fonction par un réel est :

  • (ku)=ku(ku)'=ku'

Exemple : Soit la fonction f(x)=2x3f(x)=2x^3
Sa dérivée est le produit de la constante 22 par la dérivée de la fonction x3x^3
Ainsi f(x)=2×3x2=6x2f'(x)=2\times 3x^2=6x^2

La dérivée d'un produit de deux fonctions est :

  • (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

Exemple : Soit la fonction f(x)=(x1)xf(x)=(x-1)\sqrt x définie sur [0 ;+[\big[0\ ;+\infty\big[ et dérivable sur ]0 ;+[\big]0\ ;+\infty\big[.

On note u(x)=x1u(x)=x-1 donc u(x)=1u'(x)=1.
Et v(x)=xv(x)=\sqrt x donc v(x)=12xv'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.

On a alors :
f(x)=1×x+(x1)×12xf(x)=x+x12x\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}

La dérivée de l'inverse d'une fonction est :

  • (1v)=vv2\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}

Exemple : Soit la fonction f(x)=12x28f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8} et I=]2 ;2[I=\big]-2\ ;2\big[.

On note v(x)=2x28v(x)=2x^2-8 donc v(x)=4xv'(x)=4x

On a alors f(x)=4x(2x28)2f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}.

La dérivée d'un quotient de deux fonctions est :

  • (uv)=uv  uvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}

La fonction f(x)=10x3x+12f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12} et I=]12 ;+[I=\big]-12\ ;+\infty\big[

On note u(x)=10x3u(x)=10x-3 donc u(x)=10u'(x)=10.
Et v(x)=x+12v(x)=x+12 donc v(x)=1v'(x)=1.

On a alors :

f(x)=10×(x+12)(10x3)×1(x+12)2f(x)=10x+12010x+3(x+12)2f(x)=123(x+12)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}