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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir calculer des dérivées
Savoir-faire

Pré-requis

Dérivées des fonctions usuelles.

Etapes

La dérivée d'une somme des fonctions est :

  • (u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'

Exemple : Soit la fonction f(x)=x2+3x8f(x)=x^2+3x-8
Sa dérivée est la somme des dérivées de x2x^2, de 3x3x et de 8-8.
Ainsi : f(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

La dérivée d'un produit de fonction par un réel est :

  • (ku)=ku(ku)'=ku'

Exemple : Soit la fonction f(x)=2x3f(x)=2x^3
Sa dérivée est le produit de la constante 22 par la dérivée de la fonction x3x^3
Ainsi f(x)=2×3x2=6x2f'(x)=2\times 3x^2=6x^2

La dérivée d'un produit de deux fonctions est :

  • (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

Exemple : Soit la fonction f(x)=(x1)xf(x)=(x-1)\sqrt x définie sur [0 ;+[\big[0\ ;+\infty\big[ et dérivable sur ]0 ;+[\big]0\ ;+\infty\big[.

On note u(x)=x1u(x)=x-1 donc u(x)=1u'(x)=1.
Et v(x)=xv(x)=\sqrt x donc v(x)=12xv'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.

On a alors :
f(x)=1×x+(x1)×12xf(x)=x+x12x\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}

La dérivée de l'inverse d'une fonction est :

  • (1v)=vv2\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}

Exemple : Soit la fonction f(x)=12x28f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8} et I=]2 ;2[I=\big]-2\ ;2\big[.

On note v(x)=2x28v(x)=2x^2-8 donc v(x)=4xv'(x)=4x

On a alors f(x)=4x(2x28)2f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}.

La dérivée d'un quotient de deux fonctions est :

  • (uv)=uv  uvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}

La fonction f(x)=10x3x+12f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12} et I=]12 ;+[I=\big]-12\ ;+\infty\big[

On note u(x)=10x3u(x)=10x-3 donc u(x)=10u'(x)=10.
Et v(x)=x+12v(x)=x+12 donc v(x)=1v'(x)=1.

On a alors :

f(x)=10×(x+12)(10x3)×1(x+12)2f(x)=10x+12010x+3(x+12)2f(x)=123(x+12)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}