Savoir-faire : Savoir calculer des dérivées

Dérivées des fonctions usuelles.

La dérivée d'une somme des fonctions est :

• $(u+v)'=u'+v'$

Exemple : Soit la fonction $f(x)=x^2+3x-8$
Sa dérivée est la somme des dérivées de $x^2$, de $3x$ et de $-8$.
Ainsi : $f'(x)=2x+3$.

La dérivée d'un produit de fonction par un réel est :

• $(ku)'=ku'$

Exemple : Soit la fonction $f(x)=2x^3$
Sa dérivée est le produit de la constante $2$ par la dérivée de la fonction $x^3$
Ainsi $f'(x)=2\times 3x^2=6x^2$

La dérivée d'un produit de deux fonctions est :

• $(uv)'=u'v+uv'$

Exemple : Soit la fonction $f(x)=(x-1)\sqrt x$ définie sur $\big[0\ ;+\infty\big[$ et dérivable sur $\big]0\ ;+\infty\big[$.

On note $u(x)=x-1$ donc $u'(x)=1$.
Et $v(x)=\sqrt x$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.

On a alors :
$\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \\ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}$

La dérivée de l'inverse d'une fonction est :

• $\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$

Exemple : Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8}$ et $I=\big]-2\ ;2\big[$.

On note $v(x)=2x^2-8$ donc $v'(x)=4x$

On a alors $f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}$.

La dérivée d'un quotient de deux fonctions est :

• $\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}$

La fonction $f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12}$ et $I=\big]-12\ ;+\infty\big[$

On note $u(x)=10x-3$ donc $u'(x)=10$.
Et $v(x)=x+12$ donc $v'(x)=1$.

On a alors :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \\ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \\ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}$