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Savoir calculer des mesures d’un angle orienté
Savoir-faire

Pré-requis

Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Il coupe l’axe des abscisses $(x)$ en $I$, et celui des ordonnées $(y)$ en $J$.

Un angle orienté, exprimé en radian, est formé de 2 vecteurs, dont la mesure peut être négative.
Pour rappel, un angle géométrique a toujours une mesure positive.

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Exemple

Soit un point $M$ placé dans un repère orthonormé, on définit deux vecteurs : $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OI}$.

L’angle orienté formé par ces 2 vecteurs est tel que : $$\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right)=-\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OI}\right)$$

Le même angle sous sa forme géométrique est tel que : $$\widehat{IOM}=\widehat{MOI}$$

La mesure principale d’un angle orienté est appartient à l’intervalle $] -\pi ;\pi]$. Si la mesure de cet angle s’appelle $x$ (en radian), on aura une infinité d’autres mesures de ce même angle sous la forme de $x + k2\pi$.

Etapes

Pour retrouver la mesure principale de l’angle $\dfrac{46\pi}{3}$, poser l’inéquation $-\pi < \dfrac{46\pi}{3}-2k\pi<\pi$ afin de déterminer $k$. Résoudre l’inéquation.

$$-\pi <\dfrac{46\pi}{3}-2k\pi <\pi$$ $$-1< \dfrac{46}{3}-2k<1$$ $$-1-\dfrac{46}{3}<-2k<1-\dfrac{46}{3}$$ $$\dfrac{-49}{3} <-2k<\dfrac{-43}{3}$$ $$\dfrac{43}{6}<k<\dfrac{49}{6}$$ $$7,1<k<8,1$$

$k$ étant un entier naturel, on a $k=8$. Remplacer $k$ dans $x + k2\pi= \dfrac{46\pi}{3}$.

On obtient : $$x=\dfrac{46\pi}{3}-16\pi=\dfrac{-2\pi}{3}$$ Méthode avec le cercle trigonométrique

Décomposer $x=\dfrac{46\pi}{3}$ par $x=\dfrac{45\pi}{3}+ \dfrac{\pi}{3}$. $$x = 15\pi+ \dfrac{\pi}{3}$$ $$x=7\times 2\pi +\pi+\dfrac{\pi}{3}$$

Enlever $7$ tours complets du cercle trigonométrique, soit $7\times 2\pi$.

$$x=\pi+\dfrac{\pi}{3}$$

Sachant qu’il faut borner l’angle sur $] -\pi; \pi]$, $x=\dfrac{-2\pi}{3}$.