Savoir calculer des mesures d’un angle orienté - Maths

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Savoir calculer des mesures d’un angle orienté

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Savoir-faire

Pré-requis

Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ , le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon $1$ . Il coupe l’axe des abscisses $(x)$ en $I$ , et celui des ordonnées $(y)$ en $J$ .

Un angle orienté, exprimé en radian, est formé de 2 vecteurs, dont la mesure peut être négative.
Pour rappel, un angle géométrique a toujours une mesure positive.

Exemple

Soit un point $M$ placé dans un repère orthonormé, on définit deux vecteurs : $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OI}$ .

L’angle orienté formé par ces 2 vecteurs est tel que : $\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right)=-\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OI}\right)$

Le même angle sous sa forme géométrique est tel que : $\widehat{IOM}=\widehat{MOI}$

La mesure principale d’un angle orienté est appartient à l’intervalle $] -\pi ;\pi]$ . Si la mesure de cet angle s’appelle $x$ (en radian), on aura une infinité d’autres mesures de ce même angle sous la forme de $x + k2\pi$ .

Etapes

Pour retrouver la mesure principale de l’angle $\dfrac{46\pi}{3}$ , poser l’inéquation $-\pi < \dfrac{46\pi}{3}-2k\pi<\pi$ afin de déterminer $k$ . Résoudre l’inéquation.

$-\pi <\dfrac{46\pi}{3}-2k\pi <\pi$ $-1< \dfrac{46}{3}-2k<1$ $-1-\dfrac{46}{3}<-2k<1-\dfrac{46}{3}$ $\dfrac{-49}{3} <-2k<\dfrac{-43}{3}$ $\dfrac{43}{6}$ $7,1$

$k$ étant un entier naturel, on a $k=8$ . Remplacer $k$ dans $x + k2\pi= \dfrac{46\pi}{3}$ .

On obtient : $x=\dfrac{46\pi}{3}-16\pi=\dfrac{-2\pi}{3}$ Méthode avec le cercle trigonométrique

Décomposer $x=\dfrac{46\pi}{3}$ par $x=\dfrac{45\pi}{3}+ \dfrac{\pi}{3}$ . $x = 15\pi+ \dfrac{\pi}{3}$ $x=7\times 2\pi +\pi+\dfrac{\pi}{3}$

Enlever $7$ tours complets du cercle trigonométrique, soit $7\times 2\pi$ .

$x=\pi+\dfrac{\pi}{3}$

Sachant qu’il faut borner l’angle sur $] -\pi; \pi]$ , $x=\dfrac{-2\pi}{3}$ .