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Marianne

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Savoir calculer des mesures d’un angle orienté
Savoir-faire

Pré-requis

Dans un repère orthonormé (O;I;J)(O;I;J), le cercle trigonométrique est un cercle de centre OO et de rayon 11. Il coupe l’axe des abscisses (x)(x) en II, et celui des ordonnées (y)(y) en JJ.

Un angle orienté, exprimé en radian, est formé de 2 vecteurs, dont la mesure peut être négative.
Pour rappel, un angle géométrique a toujours une mesure positive.

bannière exemple

Exemple

Soit un point MM placé dans un repère orthonormé, on définit deux vecteurs : OM\overrightarrow{OM} et OI\overrightarrow{OI}.

L’angle orienté formé par ces 2 vecteurs est tel que : (OI,OM)=(OM,OI)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right)=-\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OI}\right)

Le même angle sous sa forme géométrique est tel que : IOM^=MOI^\widehat{IOM}=\widehat{MOI}

La mesure principale d’un angle orienté est appartient à l’intervalle ]π;π]] -\pi ;\pi]. Si la mesure de cet angle s’appelle xx (en radian), on aura une infinité d’autres mesures de ce même angle sous la forme de x+k2πx + k2\pi.

Etapes

Pour retrouver la mesure principale de l’angle 46π3\dfrac{46\pi}{3}, poser l’inéquation π<46π32kπ<π-\pi < \dfrac{46\pi}{3}-2k\pi<\pi afin de déterminer kk. Résoudre l’inéquation.

π<46π32kπ<π-\pi <\dfrac{46\pi}{3}-2k\pi <\pi 1<4632k<1-1< \dfrac{46}{3}-2k<1 1463<2k<1463-1-\dfrac{46}{3}<-2k<1-\dfrac{46}{3} 493<2k<433\dfrac{-49}{3} <-2k<\dfrac{-43}{3} 436<k<496\dfrac{43}{6} 7,1<k<8,17,1

kk étant un entier naturel, on a k=8k=8. Remplacer kk dans x+k2π=46π3x + k2\pi= \dfrac{46\pi}{3}.

On obtient : x=46π316π=2π3x=\dfrac{46\pi}{3}-16\pi=\dfrac{-2\pi}{3} Méthode avec le cercle trigonométrique

Décomposer x=46π3x=\dfrac{46\pi}{3} par x=45π3+π3x=\dfrac{45\pi}{3}+ \dfrac{\pi}{3}. x=15π+π3x = 15\pi+ \dfrac{\pi}{3} x=7×2π+π+π3x=7\times 2\pi +\pi+\dfrac{\pi}{3}

Enlever 77 tours complets du cercle trigonométrique, soit 7×2π7\times 2\pi.

x=π+π3x=\pi+\dfrac{\pi}{3}

Sachant qu’il faut borner l’angle sur ]π;π]] -\pi; \pi], x=2π3x=\dfrac{-2\pi}{3}.