Savoir calculer les extremums d'une fonction en utilisant le tableau de variations

• Calculer la dérivée d’une fonction.

• Résoudre une équation du second degré.

• Étudier les variations d’une fonction.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer des extremums en utilisant le tableau de variations.

Soit la fonction $g$ définie sur $\big[-5\ ;5\big]$ par :

$g(x)=\dfrac{4}{3}x^3+2x^2-8x-1$

Calculer la dérivée :

$:f'(x)=4x^2+4x-8$

Établir le tableau de signe de dérivée

La dérivée étant un polynôme du second degré, nous allons calculer le discriminant :

$\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac \\ &=4^2-4×4×(-8)\\&=16+128\\ \Delta&=144\\ \Delta&>0 \end{aligned}$

Le discriminant étant positif, le trinôme admet deux racines distinctes :((fleche))

$\text{et} \Bigg\lbrace \begin{aligned} x_1&=\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4-12}{8}=\dfrac{-16}{8}=-2 \\ x_2&=\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4+12}{8}=\dfrac{8}{8}=1 \end{aligned}$

Le polynôme est du signe de $a$, c’est-à-dire positif à l’extérieur des racines,

• la dérivée est donc positive sur $\big[-5\ ; 2\big]\cup\big[1\ ;5\big]$ et négative sur $\big[-2\ ;1\big]$.

Calculer les extremums et déduire le tableau de variation de la fonction

$\begin{aligned} f(-5)&=\dfrac{4}{3}\times(-5)^3+2\times(-5)^2-8\times(-5)-1=-\dfrac{233}{3}\approx-77,7 \\ f(-2)&=\dfrac{4}{3}\times(-2)^3+2\times(-2)^2-8\times (-2)-1=\dfrac{37}{3}\approx12,3 \\ f(1)&=\dfrac{4}{3}\times1^3+2\times 1^2-8\times 1-1=-\dfrac{17}{3}\approx-5,7 \\ f(5)&=\dfrac{4}{3}\times5^3+2\times 5^2-8\times 5-1=\dfrac{527}{3}\approx175,7 \end{aligned}$

• Le minimum de la fonction est $-\dfrac{233}{3}$ et il est atteint en $x=-5$.
• Le maximum de la fonction est $\dfrac{527}{3}$ et il est atteint en $x=5$.