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Marianne

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Savoir calculer un taux d’accroissement et la dérivée en un point
Savoir-faire

Pré-requis

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.
Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.
On appelle taux d’accroissement de ff en aa le nombre : f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

On dit que ff est dérivable en aa si le taux d’accroissement de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro.
Ce nombre, noté f(a)f'(a) est appelé nombre dérivé de ff en aa.

Lorsque ff est dérivable en aa on a ainsi : f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer le taux d’accroissement et de la dérivée en un point.

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1.
On cherche le nombre dérivé de ff en a=1a=1

Etapes

Calculer du taux d’accroissement

f(1+h)=3×(1+h)22(1+h)+1=3×(1+2h+h2)22h+1=3+6h+3h222h+1f(1+h)=3h2+4h+2\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}

f(1)=3×122×1+1=32+1f(1)=2\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \ &=3-2+1 \ f(1)&=2 \end{aligned}

f(1+h)f(1)h=3h2+4h+22h=3h2+4hh=3h2h+4hh=3h+4\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}

Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand hh tend vers

limh0(3h+4)=4\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4

En effet, si hh tend vers 00, alors 3h3h tend vers 00, et donc 3h+43h+4 tend vers 44.

  • On en déduit que ff est dérivable en 11 et que le nombre dérivé de ff en 11 est f(1)=4f'(1)=4.