Savoir-faire : Savoir calculer un taux d’accroissement et la dérivée en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.
On appelle taux d’accroissement de $f$ en $a$ le nombre : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro.
Ce nombre, noté $f'(a)$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.

Lorsque $f$ est dérivable en $a$ on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer le taux d’accroissement et de la dérivée en un point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$.
On cherche le nombre dérivé de $f$ en $a=1$

Calculer du taux d’accroissement

$\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \\ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \\ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \\ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \\ &=3-2+1 \\ f(1)&=2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \\ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \\ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}$

Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand $h$ tend vers

$\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4$

En effet, si $h$ tend vers $0$, alors $3h$ tend vers $0$, et donc $3h+4$ tend vers $4$.

• On en déduit que $f$ est dérivable en $1$ et que le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=4$.