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Savoir conjecturer la limite d’une suite
Savoir-faire

Pré-requis

La conjecture n’est pas une démonstration, c’est une généralité déduite de l’observation, une hypothèse.

Conjecturer la limite d’une suite est donc l’observation du comportement de la suite pour un $n$ élevé.

Etapes

Soit la suite $u_n=\dfrac{u_n}{2u_n+1}$

Calculer quelques valeurs de la suite.

$$u_0= 0$$ $$u_1 =0,333$$ $$u_2 =0,4$$ $$u_3 =0,42$$ $$u_4 =0,44$$

$$u_{100}= 0,49$$ Conjecturer la limite de la suite.

Si $n$ tend vers des valeurs très supérieures à $1$, on voit que la suite tend vers $\dfrac{u_n}{2u_n}$, car le terme $+1$ au dénominateur devient trop petit par rapport à $n$. La suite tend donc vers $0,5$, ce qui est vérifié dans l’étape $1$.

$$\lim \limits_{n\rightarrow \infty} u_n=0,5$$