Savoir-faire : Savoir déterminer une équation cartésienne de cercle

Soit $\mathscr C$ un cercle de centre $\Omega\big(x_\Omega ; \ y_\Omega\big)$ et de rayon $R$

Une équation cartésienne du cercle $\mathscr C$ est : $\big(x-x_\Omega\big)^2+\big(y-y_\Omega\big)^2=R^2$

Il est possible de déterminer une équation d’un cercle de diamètre $[AB]$ grâce au produit scalaire.
Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne de cercle.

Soit le cercle $\mathscr C$ de diamètre $[AB]$ avec $A(1\ ;\ 1)\text{ et }B(5\ ; -2)$.
Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle :

Calculer les coordonnées des vecteurs

$M(x\ ; \ y)$ appartient au cercle $\mathscr C$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0$.

• Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MA}$ sont : $\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} x_A-x_M\\y_A-y_M \end{pmatrix} =\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix}1-x \\ 1-y \end{pmatrix}$.

• Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MB}$ sont : $\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix} x_B-x_M \\ y_B-y_M \end{pmatrix} =\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix}5-x \\ -2-y \end{pmatrix}$.

Calculer le produit scalaire

$\begin{aligned} &\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB}=0\\&\Leftrightarrow(1-x)×(5-x)+(1-y)×(-2-y)=0 \\ &\Leftrightarrow 5-x-5x+x^2-2-y+2y+y^2=0 \\ &\Leftrightarrow x^2-6x+y^2+y+3=0\\ &\Leftrightarrow (x-3)^2-9+(y+\dfrac12)^2-\dfrac14+3=0 \\ &\Leftrightarrow(x-3)^2+(y+\dfrac12)^2=\dfrac{25}4 \end{aligned}$