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Savoir-faire

Savoir déterminer une équation cartésienne de cercle

Savoir déterminer une équation cartésienne de cercle
Savoir-faire

Pré-requis

Soit C\mathscr C un cercle de centre Ω(xΩ; yΩ)\Omega\big(x\Omega ; \ y\Omega\big) et de rayon RR

Une équation cartésienne du cercle C\mathscr C est : (x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2\big(x-x\Omega\big)^2+\big(y-y\Omega\big)^2=R^2

Il est possible de déterminer une équation d’un cercle de diamètre [AB][AB] grâce au produit scalaire.
Soit AA et BB deux points distincts.
L’ensemble des points MM tels que MA→×MB→=0\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne de cercle.

Soit le cercle C\mathscr C de diamètre [AB][AB] avec A(1 ; 1) et B(5 ;−2)A(1\ ;\ 1)\text{ et }B(5\ ; -2).
Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle :

Etapes

Calculer les coordonnées des vecteurs

M(x ; y)M(x\ ; \ y) appartient au cercle C\mathscr C si, et seulement si, MA→×MB→=0\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0.

  • Les coordonnées du vecteur MA→\overrightarrow{MA} sont : MA→(xA−xMyA−yM)=MA→(1−x1−y)\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} xA-xM\yA-yM \end{pmatrix} =\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix}1-x \ 1-y \end{pmatrix}.

  • Les coordonnées du vecteur MB→\overrightarrow{MB} sont : MB→(xB−xMyB−yM)=MB→(5−x−2−y)\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix} xB-xM \ yB-yM \end{pmatrix} =\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix}5-x \ -2-y \end{pmatrix}. Calculer le produit scalaire

MA→×MB→=0⇔(1−x)×(5−x)+(1−y)×(−2−y)=0⇔5−x−5x+x2−2−y+2y+y2=0⇔x2−6x+y2+y+3=0⇔(x−3)2−9+(y+12)2−14+3=0⇔(x−3)2+(y+12)2=254\begin{aligned} &\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB}=0\&\Leftrightarrow(1-x)×(5-x)+(1-y)×(-2-y)=0 \ &\Leftrightarrow 5-x-5x+x^2-2-y+2y+y^2=0 \ &\Leftrightarrow x^2-6x+y^2+y+3=0\ &\Leftrightarrow (x-3)^2-9+(y+\dfrac12)^2-\dfrac14+3=0 \ &\Leftrightarrow(x-3)^2+(y+\dfrac12)^2=\dfrac{25}4 \end{aligned}