Savoir déterminer la forme canonique

Toute fonction polynôme de degré $2$ de forme développée.
$ax^2+bx+c $ admet une écriture de la forme
$a(x-\alpha)^2+\beta $ où $\alpha=-\dfrac{b} {2a}$ et $\beta=f (\alpha)$.
Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer et utiliser la forme canonique.

Déterminer la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2+4x-3$

Déterminer $\alpha$

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times 2}=-\dfrac{4}{4}=-1$

Déterminer $\beta$

$\begin{aligned}\beta=f (\alpha)&=f(-1)\\&=2\times (-1)^2+4\times (-1)-3\\&=2-4-3\\&=-5\end{aligned}$

Déterminer la forme canonique

$\begin{aligned}f(x)&= 2(x-(- 1))^2 + (-5)\\&= 2(x + 1)^2-5\end{aligned}$

• La forme canonique est donc : $f(x) = 2(x + 1)^2-5$