Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Savoir déterminer les extremums d'une fonction à l’aide d’un graphique
Savoir-faire

Pré-requis

Extremum d’une fonction :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un réel de cet intervalle :

  • $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\le f(a)$.
    Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
  • $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\ge f(a)$.
    Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer les extremums d’une fonction à l’aide d’un graphique

Soit la fonction $f$ définie sur $\big[-5\ ;3\big]$ et représentée sur ce graphique :

Etapes

Déterminer le maximum de $f$

  • Le maximum de $f$ sur $\big[-5\ ;3\big]$ est $3$ ; il est atteint en $x=-5$.

Déterminer le minimum de $f$

  • Le minimum de $f$ sur $\big[-5\ ;3\big]$ est $-2$ ; il est atteint en $x=-3$.

Déterminer le maximum local de $f$

  • Le réel $1$ est un maximum local de $f$ car $1$ est le maximum de $f$ sur l’intervalle $\big]-2\ ;0\big[$ par exemple.

Déterminer le minimum local de $f$

  • Le réel $-1$ est un minimum local de $f$ car $-1$ est le minimum de $f$ sur l’intervalle $\big]0\ ;2\big[$ par exemple.