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Marianne

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Savoir déterminer les extremums d'une fonction à l’aide d’un graphique
Savoir-faire

Pré-requis

Extremum d’une fonction :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et soit aa un réel de cet intervalle :

  • ff admet un maximum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\le f(a).
    Le maximum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.
  • ff admet un minimum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\ge f(a).
    Le minimum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer les extremums d’une fonction à l’aide d’un graphique

Soit la fonction ff définie sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] et représentée sur ce graphique :

Etapes

Déterminer le maximum de ff

  • Le maximum de ff sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] est 33 ; il est atteint en x=5x=-5.

Déterminer le minimum de ff

  • Le minimum de ff sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] est 2-2 ; il est atteint en x=3x=-3.

Déterminer le maximum local de ff

  • Le réel 11 est un maximum local de ff car 11 est le maximum de ff sur l’intervalle ]2 ;0[\big]-2\ ;0\big[ par exemple.

Déterminer le minimum local de ff

  • Le réel 1-1 est un minimum local de ff car 1-1 est le minimum de ff sur l’intervalle ]0 ;2[\big]0\ ;2\big[ par exemple.