Savoir déterminer les extremums d'une fonction à l’aide d’un graphique

Extremum d’une fonction :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un réel de cet intervalle :

• $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\le f(a)$.
  Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.
• $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\ge f(a)$.
  Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer les extremums d’une fonction à l’aide d’un graphique

Soit la fonction $f$ définie sur $\big[-5\ ;3\big]$ et représentée sur ce graphique :

Déterminer le maximum de $f$

• Le maximum de $f$ sur $\big[-5\ ;3\big]$ est $3$ ; il est atteint en $x=-5$.

Déterminer le minimum de $f$

• Le minimum de $f$ sur $\big[-5\ ;3\big]$ est $-2$ ; il est atteint en $x=-3$.

Déterminer le maximum local de $f$

• Le réel $1$ est un maximum local de $f$ car $1$ est le maximum de $f$ sur l’intervalle $\big]-2\ ;0\big[$ par exemple.

Déterminer le minimum local de $f$

• Le réel $-1$ est un minimum local de $f$ car $-1$ est le minimum de $f$ sur l’intervalle $\big]0\ ;2\big[$ par exemple.