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Marianne

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Savoir déterminer une équation cartésienne de droite en connaissant un vecteur normal et les coordonnées d’un point
Savoir-faire

Pré-requis

  • Soit u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D une droite.
    On dit que u\vec u est un vecteur normal à D\mathscr D si u\vec u est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

  • Soit un vecteur non nul n(ab)\vec n\begin{pmatrix} a\b \end{pmatrix} et soit D\mathscr D une droite.
    n\vec n est un vecteur normal à D\mathscr D si, et seulement si, D\mathscr D admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne de droite en connaissant un vecteur normal et les coordonnées d’un point.

Soit A(2 ;1);A(2\ ; -1) ; on souhaite déterminer une équation de la droite D\mathscr D de vecteur normal n(13)\vec n\begin{pmatrix} 1\3 \end{pmatrix} et passant par le point AA.

Etapes

Déterminer un vecteur directeur de D\mathscr D

On pose M(x ;y)M(x\ ;y) appartenant à la droite D\mathscr D.
Le vecteur AM\overrightarrow{AM} est alors un vecteur directeur de D\mathscr D.

AM(xMxAyMyA)=AM(x2y+1)\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} xM-xA\yM-yA \end{pmatrix} =\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-2\y+1 \end{pmatrix}

Calculer le produit scalaire

Comme n\vec n est vecteur normal à D\mathscr D, n\vec n est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

 AM×n=0(x2)×1+(y+1)×3=0x2+3y+3=0x+3y+1=0\begin{array}{rl} \ &AM \times \vec n=0 \ \Leftrightarrow&(x-2)×1+(y+1)×3=0 \ \Leftrightarrow&x-2+3y+3=0 \ \Leftrightarrow&x+3y+1=0 \end{array}

Ainsi, x+3y+1=0x+3y+1=0 est une équation cartésienne de D\mathscr D.