Savoir-faire : Savoir déterminer une équation cartésienne de droite en connaissant un vecteur normal et les coordonnées d’un point

• Soit $\vec u$ un vecteur non nul et $\mathscr D$ une droite.
  On dit que $\vec u$ est un vecteur normal à $\mathscr D$ si $\vec u$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr D$.

• Soit un vecteur non nul $\vec n\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ et soit $\mathscr D$ une droite.
  $\vec n$ est un vecteur normal à $\mathscr D$ si, et seulement si, $\mathscr D$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne de droite en connaissant un vecteur normal et les coordonnées d’un point.

Soit $A(2\ ; -1) ;$ on souhaite déterminer une équation de la droite $\mathscr D$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$ et passant par le point $A$.

Déterminer un vecteur directeur de $\mathscr D$

On pose $M(x\ ;y)$ appartenant à la droite $\mathscr D$.
Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est alors un vecteur directeur de $\mathscr D$.

$\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M-x_A\\y_M-y_A \end{pmatrix} =\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$

Calculer le produit scalaire

Comme $\vec n$ est vecteur normal à $\mathscr D$, $\vec n$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr D$.

$\begin{array}{rl} \ &AM \times \vec n=0 \\ \Leftrightarrow&(x-2)×1+(y+1)×3=0 \\ \Leftrightarrow&x-2+3y+3=0 \\ \Leftrightarrow&x+3y+1=0 \end{array}$

Ainsi, $x+3y+1=0$ est une équation cartésienne de $\mathscr D$.