Savoir-faire : Savoir déterminer une équation cartésienne de droite

• Les coordonnées $(x\ ;y)$ de tous les points $M$ d'une droite $\mathscr D$ vérifient une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a, b\text{ et }c$ sont des réels avec $(a\ ;b)≠(0\ ;0)$
  Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de $\mathscr D$.

• Soient des réels $a, b\text{ et }c$ avec $(a\ ;b)≠(0\ ;0)$. L'ensemble des points $M(x\ ;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur $\vec u\left(\begin{array}{r} -b \\ a \end{array} \right)$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne d’une droite.

Si l'on considère une droite $\mathscr D'$ passant par le point $A(-4 ; 7)$ et dirigée par le vecteur $\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array} \right)$, on peut en déterminer une équation cartésienne :

Déterminer a et b

$\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array}\right)$ alors $\left\lbrace\begin{array}{rcc} a&=&-3 \\ b&=&2\end{array}\right.$

Donc $ax+by+c=0$ devient $2x+3y+c=0$

Déterminer c en exploitant les coordonnées d’un point passant par la droite

On sait que $A(-4\ ;7)∈\mathscr D'$ ce qui permet de calculer $c$.

$\begin{aligned} 2×(-4)+3×7+c=0&⇔-8+21+c=0 \\ &⇔13+c=0 \\ &⇔c=-13 \end{aligned}$

Une équation cartésienne de $\mathscr D'$ est donc : $2x+3y-13=0$.