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Marianne

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Savoir déterminer une équation cartésienne de droite
Savoir-faire

Pré-requis

  • Les coordonnées (x ;y)(x\ ;y) de tous les points MM d'une droite D\mathscr D vérifient une équation de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0a,b et ca, b\text{ et }c sont des réels avec (a ;b)(0 ;0)(a\ ;b)≠(0\ ;0)
    Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de D\mathscr D.

  • Soient des réels a,b et ca, b\text{ et }c avec (a ;b)(0 ;0)(a\ ;b)≠(0\ ;0). L'ensemble des points M(x ;y)M(x\ ;y) vérifiant ax+by+c=0ax+by+c=0 est une droite de vecteur directeur u(ba)\vec u\left(\begin{array}{r} -b \ a \end{array} \right).

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne d’une droite.

Si l'on considère une droite D\mathscr D' passant par le point A(4;7)A(-4 ; 7) et dirigée par le vecteur $\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array} \right)$, on peut en déterminer une équation cartésienne :

Etapes

Déterminer a et b

$\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array}\right)$ alors $\left\lbrace\begin{array}{rcc} a&=&-3 \\ b&=&2\end{array}\right.$

Donc $ax+by+c=0$ devient $2x+3y+c=0$

Déterminer c en exploitant les coordonnées d’un point passant par la droite

On sait que $A(-4\ ;7)∈\mathscr D'$ ce qui permet de calculer $c$.

$\begin{aligned} 2×(-4)+3×7+c=0&⇔-8+21+c=0 \\ &⇔13+c=0 \\ &⇔c=-13 \end{aligned}$

Une équation cartésienne de $\mathscr D'$ est donc : $2x+3y-13=0$.