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Marianne

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Savoir déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire
Savoir-faire

Pré-requis

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.

  • Soit XX une variable aléatoire discrète sur ΩΩ qui prend les valeurs x1, x2,  , xkx1,\ x2,\ …\ ,\ xk.
    Définir la loi de probabilité de XX, c’est donner les valeurs de probabilités p(X=xi)p(X=x
    i) pour tout entier ii, avec 1ik1≤i≤k.
    On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau.

Valeur xi prise par X x1 x2 xk
Probabilité p(X=xi) p1 = p(X = x1) p2 = p(X = x2) pk = p(X = xk)
  • Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 11.
    p1+p2++pk=i=1kp(X=xi)=1p1+p2+…+pk=\displaystyle\sum{i=1}^{k} p(X=x_i)=1

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire.

On lance un dé équilibré à six faces. On gagne 2 € si le résultat est 5 ou 6, on gagne 1€ si le résultat est 4 et on perd 1 € sinon.

On appelle GG la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en fin de partie.

Etapes

Trouver les valeurs prises par la variable aléatoire GG

  • 5 ou 6, dans ce cas le gain algébrique est de 2 € ;
  • 4, dans ce cas le gain algébrique est de 1 € ;
  • 1, 2 ou 3, dans ce cas le gain algébrique est de -1 €.

G(ω)={1 ; 1 ; 2}G(\omega)=\big\lbrace-1\ ;\ 1\ ;\ 2\big\rbrace. Calculer les probabilités correspondantes

p(G=2)=26=13p(G=1)=16p(G=1)=36=12\begin{aligned}p(G=2)=\dfrac26=\dfrac13 \ p(G=1)=\dfrac16 \ p(G=-1)=\dfrac36=\dfrac12\end{aligned}

Pour vérifier les probabilités, la somme des probabilités doit être égal à 1. p(G=2)+p(G=1)+p(G=1)=13+16+12=26+16+36=66=1\begin{aligned}p(G=2)+p(G=1)+p(G=-1)&=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac12\ &=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac36\&=\dfrac66\&=1\end{aligned} Présenter la loi de probabilité sous forme d’un tableau

La loi de probabilité de GG est donc :

gigi -1 1 2
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac12 16\dfrac16 13\dfrac13