Savoir-faire : Savoir déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.

• Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $Ω$ qui prend les valeurs $x_1,\ x_2,\ …\ ,\ x_k$.
  Définir la loi de probabilité de $X$, c’est donner les valeurs de probabilités $p(X=x_i)$ pour tout entier $i$, avec $1≤i≤k$.
  On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau.

• Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à $1$.
  $p_1+p_2+…+p_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p(X=x_i)=1$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire.

On lance un dé équilibré à six faces. On gagne 2 € si le résultat est 5 ou 6, on gagne 1€ si le résultat est 4 et on perd 1 € sinon.

On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en fin de partie.

Trouver les valeurs prises par la variable aléatoire $G$

• 5 ou 6, dans ce cas le gain algébrique est de 2 € ;
• 4, dans ce cas le gain algébrique est de 1 € ;
• 1, 2 ou 3, dans ce cas le gain algébrique est de -1 €.

$G(\omega)=\big\lbrace-1\ ;\ 1\ ;\ 2\big\rbrace$.

Calculer les probabilités correspondantes

$\begin{aligned}p(G=2)=\dfrac26=\dfrac13 \\ p(G=1)=\dfrac16 \\ p(G=-1)=\dfrac36=\dfrac12\end{aligned}$

Pour vérifier les probabilités, la somme des probabilités doit être égal à 1. $\begin{aligned}p(G=2)+p(G=1)+p(G=-1)&=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac12\\ &=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac36\\&=\dfrac66\\&=1\end{aligned}$

Présenter la loi de probabilité sous forme d’un tableau

La loi de probabilité de $G$ est donc :