Savoir-faire : Savoir étudier le sens de variation d’une suite

Une suite $u$ est composée de termes entiers indexés par des entiers naturels appelés $n$. Elle se note $u_n$, $u_0$ étant le premier terme, $u_1$ le deuxième…

Si $u_{n+1} > u_n$, alors la suite est croissante. Si $u_{n+1} < u_n$, alors la suite est décroissante.

Il y a plusieurs méthodes pour étudier les variations d’une suite, en voici deux :

• on peut déterminer le signe de l’expression $u_{n+1}-u_n$, si celui-ci est positif, la suite est croissante, s’il est négatif la suite est décroissante ;
• on peut déterminer le rapport $\dfrac{u(n+1)}{u(n)}$, s’il est supérieur à $1$, la suite est croissante, s’il est inférieur à $1$, la suite est décroissante.

Cette deuxième méthode fonctionne seulement si tous les termes de la suite sont positifs.

Soit la suite définie par $u_n=2n^2+4n+2$

Déterminer $u(n+1)$ $$u(n+1)=2(n+1)^2+4(n+1)+2$$ $$u(n+1)=2(n^2+2n+1)+4n+4+2$$ $$u(n+1)=2n^2+8n+8$$

Déterminer $u(n+1) - u(n)$ $$u(n+1)-u(n)=(2n^2+8n+8)-(2n^2+4n+2)$$ $$u(n+1)-u(n)=4n+6$$

$4n+6$ est strictement positif pour tout $n$ entier naturel.

La suite $u_n=2n^2+4n+2$ est donc strictement croissante.