Savoir étudier le sens de variation d’une suite

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Savoir-faire

Pré-requis

Une suite $u$ est composée de termes entiers indexés par des entiers naturels appelés $n$ . Elle se note $u$ , $u$ 0 $u_{0}$ étant le premier terme, $u_1$ le deuxième…

Si $u$ , alors la suite est croissante. Si $u$ , alors la suite est décroissante.

Il y a plusieurs méthodes pour étudier les variations d’une suite, en voici deux :

on peut déterminer le signe de l’expression $u$ , si celui-ci est positif, la suite est croissante, s’il est négatif la suite est décroissante ;
on peut déterminer le rapport $\dfrac{u(n+1)}{u(n)}$ , s’il est supérieur à $1$ , la suite est croissante, s’il est inférieur à $1$ , la suite est décroissante.

Cette deuxième méthode fonctionne seulement si tous les termes de la suite sont positifs.

Etapes

Soit la suite définie par $u_n=2n^2+4n+2$

Déterminer $u(n+1)$ $u(n+1)=2(n+1)^2+4(n+1)+2$ $u(n+1)=2(n^2+2n+1)+4n+4+2$ $u(n+1)=2n^2+8n+8$

Déterminer $u(n+1) - u(n)$ $u(n+1)-u(n)=(2n^2+8n+8)-(2n^2+4n+2)$ $u(n+1)-u(n)=4n+6$ $4n+6$ est strictement positif pour tout $n$ entier naturel.

La suite $u_n=2n^2+4n+2$ est donc strictement croissante.