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Savoir étudier le sens de variation d’une suite
Savoir-faire

Pré-requis

Une suite uu est composée de termes entiers indexés par des entiers naturels appelés nn. Elle se note unun, u0u0 étant le premier terme, u1u_1 le deuxième…

Si un+1>unu{n+1} > un, alors la suite est croissante. Si un+1<unu{n+1} < un, alors la suite est décroissante.

Il y a plusieurs méthodes pour étudier les variations d’une suite, en voici deux :

  • on peut déterminer le signe de l’expression un+1unu{n+1}-un, si celui-ci est positif, la suite est croissante, s’il est négatif la suite est décroissante ;
  • on peut déterminer le rapport u(n+1)u(n)\dfrac{u(n+1)}{u(n)}, s’il est supérieur à 11, la suite est croissante, s’il est inférieur à 11, la suite est décroissante.

Cette deuxième méthode fonctionne seulement si tous les termes de la suite sont positifs.

Etapes

Soit la suite définie par un=2n2+4n+2u_n=2n^2+4n+2

Déterminer u(n+1)u(n+1) u(n+1)=2(n+1)2+4(n+1)+2u(n+1)=2(n+1)^2+4(n+1)+2 u(n+1)=2(n2+2n+1)+4n+4+2u(n+1)=2(n^2+2n+1)+4n+4+2 u(n+1)=2n2+8n+8u(n+1)=2n^2+8n+8

Déterminer u(n+1)u(n)u(n+1) - u(n) u(n+1)u(n)=(2n2+8n+8)(2n2+4n+2)u(n+1)-u(n)=(2n^2+8n+8)-(2n^2+4n+2) u(n+1)u(n)=4n4u(n+1)-u(n)=4n-4 4n44n-4 est positif pour tout nn entier naturel.

La suite un=2n2+4n+2u_n=2n^2+4n+2 est donc croissante.