Savoir étudier les variations d’une fonction

Pour étudier les variations d’une fonction notée $f(x)$, il est nécessaire dans un premier temps de connaître les valeurs de $x$ pour lesquelles cette fonction est définie, il faut ensuite calculer sa fonction dérivée.

La fonction dérivé $f'(x)$ d’une fonction $f(x)$ est une fonction dont le signe indique les variations de $f(x)$.

• Si $f'(x)$ est positive, $f(x)$ décrit une variation positive (elle augmente).
• Si $f'(x)$ est négative, $f(x)$ décrit une variation négative, elle diminue.
• Quand $f'(x)$ est nulle, $f(x)$ passe par un minima ou un maxima.

Ces variations peuvent être ensuite notées dans un tableau de variation puis dessinées sur une courbe.

Déterminer l’intervalle de définition de la fonction.

$$f(x) = \sqrt{2x+1}$$

Cette fonction sera définie si $2x+1>0$, donc : $$x> \dfrac{-1}{2}$$

Calculer la dérivée.

Afin de simplifier les calculs, on va définir $u(x) = 2x+1$
On a donc $f(x) = \sqrt{u(x)}$

Par définition on a : $f'(x) =\dfrac{u'(x)}{2\times \sqrt{u(x)}}$

Avec $ u'(x)=2$

$f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Étudier la variation.

$f'(x)$ est toujours positive sur l’intervalle $\left\lbrack \dfrac{-1}{2};+\infty\right\rbrack$, donc $f(x)$ est croissante sur cet intervalle.