Pour étudier les variations d’une fonction notée $f(x)$, il est nécessaire dans un premier temps de connaître les valeurs de $x$ pour lesquelles cette fonction est définie, il faut ensuite calculer sa fonction dérivée.
La fonction dérivé $f'(x)$ d’une fonction $f(x)$ est une fonction dont le signe indique les variations de $f(x)$.
- Si $f'(x)$ est positive, $f(x)$ décrit une variation positive (elle augmente).
- Si $f'(x)$ est négative, $f(x)$ décrit une variation négative, elle diminue.
- Quand $f'(x)$ est nulle, $f(x)$ passe par un minima ou un maxima.
Ces variations peuvent être ensuite notées dans un tableau de variation puis dessinées sur une courbe.
Déterminer l’intervalle de définition de la fonction.
$$f(x) = \sqrt{2x+1}$$
Cette fonction sera définie si $2x+1>0$, donc : $$x> \dfrac{-1}{2}$$
Calculer la dérivée.
Afin de simplifier les calculs, on va définir $u(x) = 2x+1$
On a donc $f(x) = \sqrt{u(x)}$
Par définition on a : $f'(x) =\dfrac{u'(x)}{2\times \sqrt{u(x)}}$
Avec $ u'(x)=2$
$f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$
Étudier la variation.
$f'(x)$ est toujours positive sur l’intervalle $\left\lbrack \dfrac{-1}{2};+\infty\right\rbrack$, donc $f(x)$ est croissante sur cet intervalle.