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Marianne

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Savoir étudier les variations d’une fonction
Savoir-faire

Pré-requis

Pour étudier les variations d’une fonction notée f(x)f(x), il est nécessaire dans un premier temps de connaître les valeurs de xx pour lesquelles cette fonction est définie, il faut ensuite calculer sa fonction dérivée.

La fonction dérivé f(x)f'(x) d’une fonction f(x)f(x) est une fonction dont le signe indique les variations de f(x)f(x).

  • Si f(x)f'(x) est positive, f(x)f(x) décrit une variation positive (elle augmente).
  • Si f(x)f'(x) est négative, f(x)f(x) décrit une variation négative, elle diminue.
  • Quand f(x)f'(x) est nulle, f(x)f(x) passe par un minima ou un maxima.

Ces variations peuvent être ensuite notées dans un tableau de variation puis dessinées sur une courbe.

Etapes

Déterminer l’intervalle de définition de la fonction.

f(x)=2x+1f(x) = \sqrt{2x+1}

Cette fonction sera définie si 2x+1>02x+1>0, donc : x>12x> \dfrac{-1}{2} Calculer la dérivée.

Afin de simplifier les calculs, on va définir u(x)=2x+1u(x) = 2x+1
On a donc f(x)=u(x)f(x) = \sqrt{u(x)}

Par définition on a : f(x)=u(x)2×u(x)f'(x) =\dfrac{u'(x)}{2\times \sqrt{u(x)}}

Avec u(x)=2 u'(x)=2

f(x)=12x+1f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} Étudier la variation.

f(x)f'(x) est toujours positive sur l’intervalle [12;+]\left\lbrack \dfrac{-1}{2};+\infty\right\rbrack, donc f(x)f(x) est croissante sur cet intervalle.