Savoir étudier une variable aléatoire associée à une répétition en utilisant un arbre pondéré

• Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l’une ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.
• Pour modéliser une situation d’expériences répétées indépendantes, on utilise un arbre pondéré.
  Sur un arbre pondéré :
• la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est $1 ;$
• la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
• la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

À l’aide d’un exemple nous allons voir comment un arbre pondéré permet d’étudier une variable aléatoire.

Dans un jeu de 32 cartes, on tire successivement et avec remise deux cartes.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale à 30 si on tire deux figures, à 25 si on tire une figure et une autre carte qui n’est pas une figure et 5 sinon. L’objectif est de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités

On note $F$ l’événement « on tire une figure ».
L’événement $\bar F$ est l’événement contraire de $F$, c’est-à-dire « on ne tire pas de figure ».

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures, donc :
$p(F)=\dfrac{12}{32}=\dfrac38\text{ et }p(\bar F)=1-\dfrac{12}{32}=\dfrac{20}{32}=\dfrac58$

Construire un arbre pondéré

Comme on effectue deux tirages, il faut construire un arbre pondéré à deux niveaux.

Pour chaque chemin, on note la correspondance avec la loi de probabilité :

Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement

D’après les propriétés de calcul avec un arbre pondéré, on obtient :

$p(Y=30)=p(FF)=\dfrac38×\dfrac38=\dfrac9{64}$

$\begin{aligned}p(Y=25)&=p(F\bar F)+p(\bar FF)\\&=\dfrac38×\dfrac58+\dfrac58×\dfrac38\\&=\dfrac{15}{64}+\dfrac{15}{64}\\&=\dfrac{30}{64}\\&=\dfrac{15}{32}\end{aligned}$

$p(Y=5)=p(\bar F\bar F)=\dfrac58×\dfrac58=\dfrac{25}{64}$

• On obtient la loi de probabilité suivante pour $Y$ :