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Savoir identifier et représenter un schéma de Bernoulli
Savoir-faire

Pré-requis

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée $S$, dont la probabilité est $p$ ;
  • l’autre appelée « échec » notée $\bar S$, dont la probabilité est $1-p$.

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de $n$ issues $S$ ou $\bar S$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment identifier et représenter un schéma de Bernouilli.

On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

Etapes

Identifier l’épreuve de Bernoulli

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac7{10}$ puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}$.

Répresenter le schéma de Bernoulli

  • On peut appeler $Y$ le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors $Y$ prend ses valeurs dans l’ensemble $\big\lbrace0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\big\rbrace$

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