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Marianne

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Savoir identifier et représenter un schéma de Bernoulli
Savoir-faire

Pré-requis

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée SS, dont la probabilité est pp ;
  • l’autre appelée « échec » notée Sˉ\bar S, dont la probabilité est 1p1-p.

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp, avec nn entier naturel non nul et pp réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre pp. Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de nn issues SS ou Sˉ\bar S.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment identifier et représenter un schéma de Bernouilli.

On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

Etapes

Identifier l’épreuve de Bernoulli

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre p=710p=\dfrac7{10} puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres n=3 et p=710n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}.

Répresenter le schéma de Bernoulli

  • On peut appeler YY le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors YY prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}\big\lbrace0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\big\rbrace

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