Savoir-faire : Savoir identifier et représenter un schéma de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, toute expérience admettant deux issues exactement :

• l’une appelée « succès » notée $S$, dont la probabilité est $p$ ;
• l’autre appelée « échec » notée $\bar S$, dont la probabilité est $1-p$.

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de $n$ issues $S$ ou $\bar S$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment identifier et représenter un schéma de Bernouilli.

On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

Identifier l’épreuve de Bernoulli

• Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac7{10}$ puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

• En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}$.

Répresenter le schéma de Bernoulli

• On peut appeler $Y$ le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors $Y$ prend ses valeurs dans l’ensemble $\big\lbrace0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\big\rbrace$