Savoir prendre une décision en déterminant un intervalle de fluctuation à la calculatrice

Repérer l’hypothèse sur la proportion

Ici, on suppose que $54\ \%$ des salariés sont satisfaits donc $p=0,54$.

Repérer la taille de l’échantillon

Ici, l’enquête est organisée auprès de 50 salariés donc $n=50$.

Repérer (ou calculer) la fréquence $f$.

Ici, parmi les 50 salariés interrogés, 21 déclarent être satisfaits donc $f=\dfrac{21}{50}=0,42$.

Déterminer l’intervalle de fluctuation $I_n$ correspondant

L’intervalle de fluctuation se détermine facilement à l’aide de la loi binomiale.
La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de salariés satisfaits dans un échantillon de $50$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,54$.

Avec la calculatrice, on établie la table des valeurs des $p(X≤k)$ pour déterminer $a$ et $b$ :

• le plus petit entier $a$ tel que $p(X≤a)>0,025$
• le plus petit entier $b$ tel que $p(X≤b)≥0,975$

Pour calculer la table des valeurs des $p(X≤k)$ avec la calculatrice :

Grâce à la table des valeurs des $p(X≤k)$ , on trouve :

$p(X≤20)=0,032>0,025$ donc $a=20$

$p(X≤34)=0,984>0,975$ donc $b=34$

L’intervalle de fluctuation au seuil de $95\ \%$ est donc $I_n=\left[\dfrac an ; \dfrac bn\right]=\left[\dfrac{20}{50} ; \dfrac{34}{50}\right]=\big[0,4\ ;\ 0,68\big]$.

Vérifier si $f$ appartient ou non à $I_n$

$0,42\in\big[0,4\ ;\ 0,68\big]$ donc $f\in I_n$.

Conclure

L’affirmation de la direction ne peut donc pas être remise en question.