Savoir prendre une décision en déterminant un intervalle de fluctuation à la calculatrice

On considère une population dans laquelle on fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère est $p$ et on souhaite tester la validité de cette hypothèse.
Pour cela, on prélève par hasard et avec remise un échantillon de taille $n$ sur lequel on observe la fréquence $f$ d’apparition de ce caractère puis on détermine l’intervalle de fluctuation (au seuil de $95\ \%$) $I_n$ correspondant :

• Si $f∈I_n$ on accepte l’hypothèse ;
• Si $f∉I_n$ on rejette l’hypothèse avec un risque d’erreur de $5\ \%$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment prendre une décision en déterminant un intervalle de fluctuation à la calculatrice.

La direction d’une grosse société estime que $54\ \%$ des salariés qui déjeunent sur place sont satisfaits du restaurant d’entreprise.
Afin de vérifier cette hypothèse, une enquête auprès de 50 salariés est organisée. 21 salariés déclarent que la restauration leur convient. Que penser de l’affirmation de la direction ?

Repérer l’hypothèse sur la proportion

Ici, on suppose que $54\ \%$ des salariés sont satisfaits donc $p=0,54$.

Repérer la taille de l’échantillon

Ici, l’enquête est organisée auprès de 50 salariés donc $n=50$.

Repérer (ou calculer) la fréquence $f$.

Ici, parmi les 50 salariés interrogés, 21 déclarent être satisfaits donc $f=\dfrac{21}{50}=0,42$.

Déterminer l’intervalle de fluctuation $I_n$ correspondant

L’intervalle de fluctuation se détermine facilement à l’aide de la loi binomiale.
La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de salariés satisfaits dans un échantillon de $50$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,54$.

Avec la calculatrice, on établie la table des valeurs des $p(X≤k)$ pour déterminer $a$ et $b$ :

• le plus petit entier $a$ tel que $p(X≤a)>0,025$
• le plus petit entier $b$ tel que $p(X≤b)≥0,975$

Pour calculer la table des valeurs des $p(X≤k)$ avec la calculatrice :

Grâce à la table des valeurs des $p(X≤k)$ , on trouve :

$p(X≤20)=0,032>0,025$ donc $a=20$

$p(X≤34)=0,984>0,975$ donc $b=34$

L’intervalle de fluctuation au seuil de $95\ \%$ est donc $I_n=\left[\dfrac an ; \dfrac bn\right]=\left[\dfrac{20}{50} ; \dfrac{34}{50}\right]=\big[0,4\ ;\ 0,68\big]$.

Vérifier si $f$ appartient ou non à $I_n$

$0,42\in\big[0,4\ ;\ 0,68\big]$ donc $f\in I_n$.

Conclure

L’affirmation de la direction ne peut donc pas être remise en question.