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Savoir prendre une décision en déterminant un intervalle de fluctuation à la calculatrice
Savoir-faire

Pré-requis

On considère une population dans laquelle on fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère est pp et on souhaite tester la validité de cette hypothèse.
Pour cela, on prélève par hasard et avec remise un échantillon de taille nn sur lequel on observe la fréquence ff d’apparition de ce caractère puis on détermine l’intervalle de fluctuation (au seuil de 95 %95\ \%) InI_n correspondant :

  • Si fInf∈I_n on accepte l’hypothèse ;
  • Si fInf∉I_n on rejette l’hypothèse avec un risque d’erreur de 5 %5\ \%.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment prendre une décision en déterminant un intervalle de fluctuation à la calculatrice.

La direction d’une grosse société estime que 54 %54\ \% des salariés qui déjeunent sur place sont satisfaits du restaurant d’entreprise.
Afin de vérifier cette hypothèse, une enquête auprès de 50 salariés est organisée. 21 salariés déclarent que la restauration leur convient. Que penser de l’affirmation de la direction ?

Etapes

Repérer l’hypothèse sur la proportion

Ici, on suppose que 54 %54\ \% des salariés sont satisfaits donc p=0,54p=0,54.

Repérer la taille de l’échantillon

Ici, l’enquête est organisée auprès de 50 salariés donc n=50n=50.

Repérer (ou calculer) la fréquence ff.

Ici, parmi les 50 salariés interrogés, 21 déclarent être satisfaits donc f=2150=0,42f=\dfrac{21}{50}=0,42.

Déterminer l’intervalle de fluctuation InI_n correspondant

L’intervalle de fluctuation se détermine facilement à l’aide de la loi binomiale.
La variable aléatoire XX qui compte le nombre de salariés satisfaits dans un échantillon de 5050 suit la loi binomiale de paramètres n=50n=50 et p=0,54p=0,54.

Avec la calculatrice, on établie la table des valeurs des p(Xk)p(X≤k) pour déterminer aa et bb :

  • le plus petit entier aa tel que p(Xa)>0,025p(X≤a)>0,025
  • le plus petit entier bb tel que p(Xb)0,975p(X≤b)≥0,975

Pour calculer la table des valeurs des p(Xk)p(X≤k) avec la calculatrice :

 

Casio

Ti

On entre les nombres entiers de 0 à 50 dans la liste 1

menu 2 (STAT)

Se placer sur la liste 1

OPTN F1 (List)

F5 (Seq)

x , x , 0 , 5 0 , 1 )

EXE

stats entrer

Se placer sur L1

2nde stats \blacktriangleright (OP \blacktriangledown 55 : (suite()

Compléter la boîte de dialogue :
Expr : X
Variable : X
début : 0
fin : 50
pas : 1

On effectue les réglages et on affiche les valeurs p(Xk)p(X≤k)

Se placer sur la liste 2

EXIT EXIT

F5 (DIST)

F5 (BINM)

F2 (Bcd)

Compléter la boîte de dialogue :
Binomial C.D
Data : List
List : List1
Numtrial : 50
P : 0.54
Save Res : List2
Execute

Se placer sur L2

2nde var B : (binomFRép()

Compléter la boîte de dialogue :
nbreEssais : 50
p : 0.54
valeur de x : L1

Grâce à la table des valeurs des p(Xk)p(X≤k) , on trouve :

p(X20)=0,032>0,025p(X≤20)=0,032>0,025 donc a=20a=20

p(X34)=0,984>0,975p(X≤34)=0,984>0,975 donc b=34b=34

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\ \% est donc In=[an;bn]=[2050;3450]=[0,4 ; 0,68]I_n=\left[\dfrac an ; \dfrac bn\right]=\left[\dfrac{20}{50} ; \dfrac{34}{50}\right]=\big[0,4\ ;\ 0,68\big].

Vérifier si ff appartient ou non à InI_n

0,42[0,4 ; 0,68]0,42\in\big[0,4\ ;\ 0,68\big] donc fInf\in I_n.

Conclure

L’affirmation de la direction ne peut donc pas être remise en question.