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Savoir reconnaître et étudier une suite arithmétique
Savoir-faire

Pré-requis

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme et séparé du suivant par une constante que l’on appelle raison.

Par exemple $0$, $2$, $4$, $6$, $8$ est une suite arithmétique de raison $2$.

$u_0$ $u_1$ $u_2$ $u_3$ $u_4$
$0$ $2$ $4$ $6$ $8$

Une suite arithmétique est donc définie par sa raison et par son premier terme $u_0$.

Etapes

Reconnaître une suite arithmétique.

Si la suite est définie par récurrence, elle doit être de la forme : $$u_{n+1}=u_n+r$$

Cette relation peut être également écrite : $$u_n=u_0+n\times r$$

Application numérique :
Si on prend la suite formée par les nombres pairs avec $u_0 = 0$, le 4e terme de la suite $(u_3)$ se calcule : $$u_3=0+3\times 2=6$$ Donner la limite de la suite arithmétique.

Si la raison est positive, la limite de la suite sera $+\infty$.
Si la raison est négative, la limite de la suite sera $-\infty$. Faire la somme des termes.

Pour calculer la somme $S$ de $n$ termes d’une suite arithmétique, on utilise la formule suivante : $$S_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$

Application numérique :
Si on prend la suite formée par les nombres pairs avec $u_0 = 0$, la somme des 5 premiers termes est : $$S_4=\dfrac{5\times (0+8)}{2}=20$$