Pré-requis
Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est le résultat du produit du terme précédent avec une constante appelée raison.
Par exemple $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ est une suite géométrique de raison $2$.
| $u_0$ | $u_1$ | $u_2$ | $u_3$ | $u_4$ |
| $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ |
Une suite géométrique est donc définie par sa raison notée $q$ et par son premier terme noté $u_0$.
Etapes
Reconnaître une suite géométrique.
Si la suite est définie par récurrence, elle doit être de la forme : $$u_{n+1}=u_n\times r$$
Cette relation peut être également écrite : $$u_n=u_0\times q^n$$
Application numérique :
Pour la suite de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=2$, le 4e terme $(u_3)$ se calcule :
$$u_3=1\times 2^3=8$$
Déterminer la variation et la convergence de la suite.
La variation d’une suite géométrique dépend de $q$ est de $u_0$.
- Si $q$ est strictement inférieur à $0$, la suite est dite alternée car oscillant entre des valeurs positives et négatives.
- Pour $q$ est compris dans l’intervalle $[0;1[$,
- si $u_0$ est positif, la suite sera décroissante et convergera vers $0$,
- si $u_0$ est négatif, la suite sera croissante et convergera vers $0$.
- Pour $q$ est supérieur à $1$,
- si $u_0$ est positif, la suite sera croissant et divergera,
- si $u_0$ est négatif, la suite sera décroissante et divergera.