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Savoir reconnaître et étudier une suite géométrique
Savoir-faire

Pré-requis

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est le résultat du produit du terme précédent avec une constante appelée raison.

Par exemple $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ est une suite géométrique de raison $2$.

$u_0$ $u_1$ $u_2$ $u_3$ $u_4$
$1$ $2$ $4$ $8$ $16$

Une suite géométrique est donc définie par sa raison notée $q$ et par son premier terme noté $u_0$.

Etapes

Reconnaître une suite géométrique.

Si la suite est définie par récurrence, elle doit être de la forme : $$u_{n+1}=u_n\times r$$

Cette relation peut être également écrite : $$u_n=u_0\times q^n$$

Application numérique :
Pour la suite de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=2$, le 4e terme $(u_3)$ se calcule : $$u_3=1\times 2^3=8$$ Déterminer la variation et la convergence de la suite.

La variation d’une suite géométrique dépend de $q$ est de $u_0$.

  • Si $q$ est strictement inférieur à $0$, la suite est dite alternée car oscillant entre des valeurs positives et négatives.
  • Pour $q$ est compris dans l’intervalle $[0;1[$,
  • si $u_0$ est positif, la suite sera décroissante et convergera vers $0$,
  • si $u_0$ est négatif, la suite sera croissante et convergera vers $0$.
  • Pour $q$ est supérieur à $1$,
  • si $u_0$ est positif, la suite sera croissant et divergera,
  • si $u_0$ est négatif, la suite sera décroissante et divergera.