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Marianne

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Savoir reconnaître et étudier une suite géométrique
Savoir-faire

Pré-requis

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est le résultat du produit du terme précédent avec une constante appelée raison.

Par exemple 11, 22, 44, 88, 1616 est une suite géométrique de raison 22.

u0u0 u1u1 u2u2 u3u3 u4u_4
11 22 44 88 1616

Une suite géométrique est donc définie par sa raison notée qq et par son premier terme noté u0u_0.

Etapes

Reconnaître une suite géométrique.

Si la suite est définie par récurrence, elle doit être de la forme : un+1=un×ru{n+1}=un\times r

Cette relation peut être également écrite : un=u0×qnun=u0\times q^n

Application numérique :
Pour la suite de premier terme u0=1u0=1 et de raison q=2q=2, le 4e terme (u3)(u3) se calcule : u3=1×23=8u_3=1\times 2^3=8 Déterminer la variation et la convergence de la suite.

La variation d’une suite géométrique dépend de qq est de u0u_0.

  • Si qq est strictement inférieur à 00, la suite est dite alternée car oscillant entre des valeurs positives et négatives.
  • Pour qq est compris dans l’intervalle [0;1[[0;1[,
  • si u0u_0 est positif, la suite sera décroissante et convergera vers 00,
  • si u0u_0 est négatif, la suite sera croissante et convergera vers 00.
  • Pour qq est supérieur à 11,
  • si u0u_0 est positif, la suite sera croissant et divergera,
  • si u0u_0 est négatif, la suite sera décroissante et divergera.