Savoir représenter graphiquement une suite définie par une relation de récurrence

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

• son premier terme ;
• une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

À l ‘aide d’un exemple nous allons montrer comment représenter graphiquement une suite définie par une relation de récurrence.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0&=-1,5 \\ u_{n+1}&=\sqrt{4u_n+8} \end{cases}$

Tracer dans un repère la fonction $f$ concernée

Ici, il s'agit de la fonction $f(x)=\sqrt{4x+8}$.
Il faut donc tracer la courbe représentative de la fonction.

Tracer la droite $y=x$

La droite $y=x$ permettra de reporter les termes de la suite sur l'axe des abscisses.

Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses

$u_1 = f(u_0)$ ; $u_1$ est l'image de $u_0$ par la fonction $f$

Placer $u_1$ sur l'axe des abscisses

Pour déterminer $u_2=f(u_1)$ il faut d'abord reporter $u_1$ sur l'axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.

Placer les autres points

Placer $u_2$ sur l'axe des abscisses

$u_2 = f(u_1)$ ; $u_2$ est l'image de $u_1$ par la fonction $f$.

Placer $u_3$ sur l'axe des abscisses

Pour déterminer $u_3=f(u_2)$ il faut d'abord reporter $u_2$ sur l'axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.
Et ainsi de suite…