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Marianne

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Savoir résoudre une équation du second degré
Savoir-faire

Pré-requis

  • Une équation du second degré, d’inconnue xx, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0aa, bb et cc sont des nombres réels donnés, avec a0a\neq 0.
  • Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.

Pour résoudre une équation du type ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, on calcule tout d’abord le discriminant Δ\Delta du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c .

Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

  • Si Δ>0\Delta>0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes :
    x1=bΔ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a} et x2=b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :
    x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution. [/PROP]

À l‘aide de 3 exemples nous allons montrer comment résoudre une équation du second degré.

Etapes

  • Résoudre l’équation 5x29x+2=0-5x^2-9x+2=0
  • Calculer le discriminant

Δ=b24ac=(9)24×(5)×2=81+40Δ=121\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\&=(-9)^2-4\times(-5)\times2\&=81+40\ \Delta&=121 \end {aligned}

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme Δ\Delta est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

x1=bΔ2a=91212×(5)=91110=210=15\begin{aligned}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9-11}{-10}\&=\dfrac{-2}{-10}\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}

x2=b+Δ2a=9+1212×(5)=9+1110=2010=2\begin{aligned}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9+11}{-10} \&=\dfrac{20}{-10}\&=-2\end{aligned}

Donc S={2;15}S= \left\lbrace -2;\dfrac{1}{5} \right\rbrace

  • Résoudre l’équation 13x22x+3=0\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0
  • Calculer le discriminant 

Δ=b24ac=(2)24×13×3=44Δ=0\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \ &=4-4 \ \Delta&=0 \end{aligned}

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme Δ\Delta est nul, l’équation admet une unique solution :

x0=b2a=(2)2×13=223=2×32=3x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3
Donc S={3}S={3}.

  • Résoudre l’équation 3x2x+2=03x^2-x+2=0
  • Calculer le discriminant

Δ=b24ac=(1)24×3×2=124Δ=23\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-1)^2-4\times3\times2 \ &=1-24 \ \Delta&=-23 \end{aligned}

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme Δ\Delta est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc S=S=\varnothing