Savoir résoudre une équation du second degré

• Résoudre l’équation $-5x^2-9x+2=0$
• Calculer le discriminant

$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\&=(-9)^2-4\times(-5)\times2\&=81+40\ \Delta&=121 \end {aligned}$

• Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta$ est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

$\begin{aligned}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9-11}{-10}\&=\dfrac{-2}{-10}\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9+11}{-10} \&=\dfrac{20}{-10}\&=-2\end{aligned}$

Donc $S= \left\lbrace -2;\dfrac{1}{5} \right\rbrace$

• Résoudre l’équation $\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0$
• Calculer le discriminant 

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \ &=4-4 \ \Delta&=0 \end{aligned}$

• Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta$ est nul, l’équation admet une unique solution :

$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3$
Donc $S={3}$.

• Résoudre l’équation $3x^2-x+2=0$
• Calculer le discriminant

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-1)^2-4\times3\times2 \ &=1-24 \ \Delta&=-23 \end{aligned}$

• Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta$ est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc $S=\varnothing$