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Savoir résoudre une équation du second degré
Savoir-faire

Pré-requis

  • Une équation du second degré, d’inconnue $x$, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés, avec $a\neq 0$.
  • Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme $ax^2+bx+c$.

Pour résoudre une équation du type $ax^2+bx+c=0$, on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta$ du trinôme $ax^2+bx+c $.

$\Delta=b^2-4ac$

  • Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}$
  • Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :
    $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
  • Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution. [/PROP]

À l‘aide de 3 exemples nous allons montrer comment résoudre une équation du second degré.

Etapes

  • Résoudre l’équation $-5x^2-9x+2=0$
  • Calculer le discriminant

$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-9)^2-4\times(-5)\times2\\&=81+40\\ \Delta&=121 \end {aligned}$

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta $ est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

$\begin{aligned}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)}\\&=\dfrac{9-11}{-10}\\&=\dfrac{-2}{-10}\\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)}\\&=\dfrac{9+11}{-10} \\&=\dfrac{20}{-10}\\&=-2\end{aligned}$

Donc $S= \left\lbrace -2;\dfrac{1}{5} \right\rbrace$

  • Résoudre l’équation $\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0$
  • Calculer le discriminant 

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \\ &=4-4 \\ \Delta&=0 \end{aligned}$

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta $ est nul, l’équation admet une unique solution :

$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3$
Donc $S={3}$.

  • Résoudre l’équation $3x^2-x+2=0$
  • Calculer le discriminant

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-1)^2-4\times3\times2 \\ &=1-24 \\ \Delta&=-23 \end{aligned}$

  • Trouver les solutions de l’équation

Comme $\Delta$ est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc $S=\varnothing$