Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Savoir résoudre une inéquation du second degré
Savoir-faire

Pré-requis

Le signe du trinôme :
On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c :

  • Dans le cas où Δ>0\Delta>0, le trinôme est du signe de aa sur ] ; x1[]-\infty\ ;\ x1[ et sur ]x2 ; +[]x2\ ;\ +\infty[ et du signe contraire de aa sur ]x1 ; x2[]x1\ ;\ x2[.

  • Dans le cas où Δ=0\Delta=0, le trinôme est du signe de aa pour tout réel xx0x\ne x0 et le trinôme s’annule pour x=x0x=x0.

  • Dans le cas où Δ<0\Delta<0, pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.

À l’aide de 3 exemples nous allons montrer comment résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

Etapes

  • Résoudre l’inéquation 5x29x+20-5x^2-9x+2\geq0
  • Calculer la ou les racine(s)

Le trinôme 5x29x+2-5x^2-9x+2 admet pour racines le couple S={2 ;15}S=\left\lbrace-2\ ; \dfrac{1}{5}\right\rbrace

  • Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de 5x29x+20-5x^2-9x+2\geq0 sur R\mathbb{R}
a=5<0a=-5<0 donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

  • Trouver l’intervalle positif

Trouver l’intervalle positif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

S=[2 ;15]S=[-2\ ; \dfrac{1}{5}].

  • Résoudre l’inéquation 13x2x+3>0\dfrac{1}{3}x^2-x+3 >0
  • Calculer la ou les racine(s)

Le trinôme 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 admet pour racine racine unique S=3S=3

  • Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de 13x2x+3>0\dfrac{1}{3}x^2-x+3 >0 sur R\mathbb{R}
a=13>0a=\dfrac{1}{3}>0 donc le trinôme est positif pour tout x3x\ne 3 ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

  • Trouver l’intervalle positif

Trouver l’intervalle positif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

S=] ;3[S=]-\infty\ ;3[ et $]3; +\infty[Reˊsoudrelineˊquation

  • Résoudre l’inéquation 3x^2-x+2<0((fleche))[SMLINKsheet:savoirresoudreuneequationduseconddegre:savoirfaire:5b30f294b4c87d0100407dae]Calculerlaoulesracine(s)[/SMLINK]((bulle,1))Cetrino^menavaitaucuneracine.Construireletableaudesignescorrespondant((bulle,2))Eˊtudierlesignede
  • Calculer la ou les racine(s)

Ce trinôme n’avait aucune racine.

  • Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de 3x^2-x+2sur sur \mathbb{R} a=3>0doncletrino^meestpositifpourtoutreˊel donc le trinôme est positif pour tout réel x<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 45: … signes suivant&̲nbsp;:

((…" style="color: cc0000"> ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

IMG)

  • Trouver l’intervalle strictement négatif

Trouver l’intervalle strictement négatif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

S=\varnothing$.