Savoir-faire : Savoir résoudre une inéquation du second degré

Le signe du trinôme :
On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ :

• Dans le cas où $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ sur $]-\infty\ ;\ x_1[$ et sur $]x_2\ ;\ +\infty[$ et du signe contraire de $a$ sur $]x_1\ ;\ x_2[$.

• Dans le cas où $\Delta=0$, le trinôme est du signe de $a$ pour tout réel $x\ne x_0$ et le trinôme s’annule pour $x=x_0$.

• Dans le cas où $\Delta<0$, pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.

À l’aide de 3 exemples nous allons montrer comment résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

• Résoudre l’inéquation $-5x^2-9x+2\geq0$
• Calculer la ou les racine(s)

Le trinôme $-5x^2-9x+2$ admet pour racines le couple $S=\left\lbrace-2\ ; \dfrac{1}{5}\right\rbrace$

• Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de $-5x^2-9x+2\geq0$ sur $\mathbb{R}$
$a=-5<0$ donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Trouver l’intervalle positif

Trouver l’intervalle positif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

$S=[-2\ ; \dfrac{1}{5}]$.

• Résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{3}x^2-x+3 >0$
• Calculer la ou les racine(s)

Le trinôme $\dfrac{1}{3}x^2-x+3$ admet pour racine racine unique $S=3$

• Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de $\dfrac{1}{3}x^2-x+3 >0$ sur $\mathbb{R}$
$a=\dfrac{1}{3}>0$ donc le trinôme est positif pour tout $x\ne 3$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Trouver l’intervalle positif

Trouver l’intervalle positif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

$S=]-\infty\ ;3[$ et $]3; +\infty[$

• Résoudre l’inéquation $3x^2-x+2<0$
• Calculer la ou les racine(s)

Ce trinôme n’avait aucune racine.

• Construire le tableau de signes correspondant

Étudier le signe de $3x^2-x+2$ sur $\mathbb{R}$
$a=3>0$ donc le trinôme est positif pour tout réel $x$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Trouver l’intervalle strictement négatif

Trouver l’intervalle strictement négatif du trinôme et noter l’ensemble de solution.

$S=\varnothing$.